QUESTÃO 34

O valor da inclinação da reta tangente à curva y(x)=x^{2}-1, calculada em \mathrm{x}=3 é igual a:
(A) y^{\prime}(3)=1.
(B) y^{\prime}(3)=3.
(C) y^{\prime}(3)=6.
(D) y^{\prime}(3)=9.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor da inclinação da reta tangente à curva y(x)=x^{2}-1 calculada em x=3.
Informações dadas:
  • A função é y(x)=x^{2}-1.
  • Precisamos calcular a derivada da função em x=3, isto é, y'(3).
  • O enunciado apresenta alternativas (A) a (E) e queremos identificar qual corresponde a y'(3).

Passo 2

O que significa achar a inclinação da reta tangente em um ponto?
A inclinação da reta tangente à curva em x=a é o valor da derivada da função naquele ponto, isto é, y'(a). A derivada mede a taxa de variação instantânea da função e também o coeficiente angular da reta que toca a curva naquele ponto. Uma definição formal (via limite) é:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Aqui:
  • y'(x) é a derivada da função y em relação a x (a inclinação da tangente em qualquer ponto x);
  • h é um pequeno incremento em x;
  • o quociente \dfrac{y(x+h)-y(x)}{h} dá a inclinação média no intervalo de largura h; o limite quando h\to 0 dá a inclinação instantânea.

Passo 3

Vamos aplicar a definição por limite à função y(x)=x^{2}-1. Primeiro calculamos y(x+h):
y(x+h)=(x+h)^{2}-1 = x^{2}+2xh+h^{2}-1.
Agora formamos o quociente de diferenças:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{(x^{2}+2xh+h^{2}-1)-(x^{2}-1)}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}.
Simplificando o fator h no numerador:
\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
y'(x)=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
Portanto encontramos que a derivada geral da função é y'(x)=2x.

Passo 4

Interpretando o resultado: a fórmula y'(x)=2x diz que, em qualquer ponto x, a inclinação da tangente é 2x. As razões algébricas que usamos foram simplesmente fatorar e cancelar h — procedimento padrão no uso da definição por limite para polinômios.

Passo 5

Calculamos agora y'(3) substituindo x=3 na expressão da derivada:
y'(3)=2\cdot 3=6.
Comentário rápido: uma forma mais curta (que você pode usar na prova) é aplicar a regra de potência — a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Para x^{2} isso dá 2x, e a derivada da constante -1 é 0, chegando ao mesmo y'(x)=2x.

Resposta

\,y'(3)=6 (C)

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