QUESTÃO 34
O valor da inclinação da reta tangente à curva
, calculada em
é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado pede o valor da inclinação da reta tangente à curva
calculada em
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos calcular a derivada da função em
, isto é, . - O enunciado apresenta alternativas (A) a (E) e queremos identificar qual corresponde a
.
Passo 2
O que significa achar a inclinação da reta tangente em um ponto?
A inclinação da reta tangente à curva em é o valor da derivada da função naquele ponto, isto é,
. A derivada mede a taxa de variação instantânea da função e também o coeficiente angular da reta que toca a curva naquele ponto. Uma definição formal (via limite) é:
A inclinação da reta tangente à curva em
Aqui:
-
é a derivada da função em relação a (a inclinação da tangente em qualquer ponto ); -
é um pequeno incremento em ; - o quociente
dá a inclinação média no intervalo de largura ; o limite quando dá a inclinação instantânea.
Passo 3
Vamos aplicar a definição por limite à função
. Primeiro calculamos
:
Agora formamos o quociente de diferenças:
Simplificando o fator
no numerador:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto encontramos que a derivada geral da função é
.
Passo 4
Interpretando o resultado: a fórmula
diz que, em qualquer ponto
, a inclinação da tangente é
. As razões algébricas que usamos foram simplesmente fatorar e cancelar
— procedimento padrão no uso da definição por limite para polinômios.
Passo 5
Calculamos agora
substituindo
na expressão da derivada:
Comentário rápido: uma forma mais curta (que você pode usar na prova) é aplicar a regra de potência — a derivada de
é
. Para
isso dá
, e a derivada da constante
é
, chegando ao mesmo
.