QUESTÃO 31

Seja f uma função definida por:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-1, x \leq 1 \\\\ 2 x+1, x>1\end{array}\right.. Nesse caso, é possível afirmar que \lim _{x \rightarrow 1+} f(x) é igual a:
(A) 0 .
(B) 1 .
C 2 .
(D) 3 .
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & x\leq 1,\\[4pt] 2x+1, & x>1, \end{cases}
e pede para calcular \lim_{x\to 1+} f(x), ou seja, o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pela direita (valores de x maiores do que 1). As informações relevantes são: a parte da função que vale para x>1 é 2x+1; a parte que vale para x\le 1 é x^{2}-1.]

Passo 2

Entender o que significa \lim_{x\to 1+} f(x): é o valor que f(x) se aproxima quando pegamos x com x>1 e cada vez mais próximo de 1. Logo, para esse limite devemos olhar somente a expressão de f válida para x>1, que, conforme o enunciado, é 2x+1.

Passo 3

Explicando por que podemos simplesmente usar a expressão 2x+1: funções polinomiais e lineares (como 2x+1) são contínuas em todo ponto. Para funções contínuas, o limite quando x tende a um ponto é o mesmo que o valor dado pela substituição direta. Aqui estamos olhando o limite pela direita, mas a expressão é a mesma em toda a vizinhança à direita, então basta calcular o limite da expressão 2x+1 quando x\to 1 (pela direita).

Passo 4

Calcular o limite substituindo x=1 na expressão 2x+1:
\lim_{x\to 1+} f(x)=\lim_{x\to 1+} (2x+1)=2\cdot 1 + 1 = 3.
Se quiser comparar, a limite pela esquerda seria \lim_{x\to 1-} (x^{2}-1)=1^{2}-1=0, então há descontinuidade no ponto x=1; mas a pergunta pede apenas o limite pela direita, que é 3.

Resposta

(D) 3.

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