QUESTÃO 36
Seja
, então o valor da derivada de
, calculada pela definição é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
usando a definição de derivada (ou seja, pelo limite do quociente incremental).
Informações relevantes: a função é . A operação pedida é “derivar pela definição” — portanto vamos usar a expressão do limite quando
. Não há mais dados ocultos.
Informações relevantes: a função é
Passo 2
Lembrando a definição de derivada: a derivada de
em
é o limite
Aqui cada símbolo significa:
é um incremento pequeno em
;
é o valor da função no ponto deslocado; o quociente mede a taxa média de variação e o limite quando
dá a taxa instantânea (a derivada).
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
obtemos o quociente incremental:
Esse é o objeto cujo limite quando
precisamos calcular. Note que diretamente substituindo
daria uma forma
, indeterminada, então precisamos manipular algebricamente.
Passo 4
Para eliminar a indeterminação usamos a conjugada (racionalização): multiplicamos numerador e denominador por
. Fazendo isso:
Aqui usei a identidade
. No numerador
.
Passo 5
Simplificando o fator
no numerador com o
do denominador:
Agora o quociente incremental está escrito numa forma em que podemos tomar o limite
por substituição direta.
Passo 6
Tomando o limite quando
(ou seja,
) obtemos:
Portanto a derivada calculada pela definição é
. Note que isso faz sentido apenas onde a função está definida e diferenciável, ou seja para
.
Passo 7
Como checagem rápida (útil na prova para confirmar): escrevendo
e aplicando a regra da cadeia / regra de potências: se
com
, então
. Isso confirma o resultado obtido pela definição.
Resposta
(D)