QUESTÃO 36

Seja y(x)=\sqrt{2 x}, então o valor da derivada de y(x), calculada pela definição é igual a:
(A) y^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}.
(B) y^{\prime}(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}.
(C) y^{\prime}(x)=\sqrt{\frac{2}{x}}.
(D) y^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x}}.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=\sqrt{2x} e pede para calcular a derivada y'(x) usando a definição de derivada (ou seja, pelo limite do quociente incremental).
Informações relevantes: a função é y(x)=\sqrt{2x}. A operação pedida é “derivar pela definição” — portanto vamos usar a expressão do limite quando h\to 0. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada: a derivada de y em x é o limite
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Aqui cada símbolo significa: h é um incremento pequeno em x; y(x+h) é o valor da função no ponto deslocado; o quociente mede a taxa média de variação e o limite quando h\to 0 dá a taxa instantânea (a derivada).

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função y(x)=\sqrt{2x} obtemos o quociente incremental:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}{h}.
Esse é o objeto cujo limite quando h\to 0 precisamos calcular. Note que diretamente substituindo h=0 daria uma forma \frac{0}{0}, indeterminada, então precisamos manipular algebricamente.

Passo 4

Para eliminar a indeterminação usamos a conjugada (racionalização): multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}. Fazendo isso:
\frac{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}}{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}} =\frac{2(x+h)-2x}{h\big(\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}\big)}.
Aqui usei a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. No numerador a^2-b^2=2(x+h)-2x=2h.

Passo 5

Simplificando o fator 2h no numerador com o h do denominador:
\frac{2(x+h)-2x}{h\big(\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}\big)}=\frac{2h}{h\big(\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}\big)}=\frac{2}{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}}.
Agora o quociente incremental está escrito numa forma em que podemos tomar o limite h\to 0 por substituição direta.

Passo 6

Tomando o limite quando h\to 0 (ou seja, \sqrt{2(x+h)}\to\sqrt{2x}) obtemos:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{2}{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}}=\frac{2}{\sqrt{2x}+\sqrt{2x}}=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}.
Portanto a derivada calculada pela definição é \displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}. Note que isso faz sentido apenas onde a função está definida e diferenciável, ou seja para x>0.

Passo 7

Como checagem rápida (útil na prova para confirmar): escrevendo y(x)=(2x)^{1/2} e aplicando a regra da cadeia / regra de potências: se y=u^{1/2} com u=2x, então y'=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u'=\tfrac{1}{2}(2x)^{-1/2}\cdot 2=(2x)^{-1/2}=\tfrac{1}{\sqrt{2x}}. Isso confirma o resultado obtido pela definição.

Resposta

(D) y'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}

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