Questão 5.35
(a) Calcule o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a
.
(b) Qual é o tempo exigido a
para produzir o mesmo resultado de difusão (em termos da concentração em um ponto específico) ao obtido após 15 horas a
?
(b) Qual é o tempo exigido a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a
. - (b) Determinar o tempo a
que produz o mesmo resultado de difusão (em termos de concentração num ponto específico) que foi obtido após horas a .
Informações fornecidas no enunciado:
- Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Tempo conhecido:
horas (correspondente ao processo a ).
Observação importante (dados que faltam): o cálculo numérico do coeficiente de difusão exige os parâmetros da equação de Arrhenius para o par soluto/solvente (magnésio em alumínio), a saber o pré-exponencial
e a energia de ativação
. Esses parâmetros NÃO foram fornecidos no enunciado recebido. Sem
e
não é possível obter um valor numérico único para
. A seguir vou explicar passo a passo a teoria e o procedimento que se usa na prova, e depois mostro um exemplo numérico usando valores típicos da literatura (explicitando que são suposições).
Passo 2
Conceitos básicos — o que é o coeficiente de difusão e como aparece nas leis:
- A difusão macroscópica em sólidos é descrita por Fick. O coeficiente de difusão
mede a rapidez com que as espécies se movem; unidades típicas: . - Para muitos solutos em metais
varia com a temperatura segundo a lei de Arrhenius:
Expliquei cada símbolo:
-
é o coeficiente de difusão à temperatura absoluta (em kelvin). -
é o pré-exponencial (também chamado fator de frequência) com unidades de . -
é a energia de ativação para difusão, em . -
é a constante universal dos gases, . -
é a temperatura absoluta em kelvin. Para converter de Celsius para kelvin usa-se .
No exame, quando pedirem "calcule o coeficiente de difusão a
", a fórmula acima é a que se usa: converte-se
para kelvin e aplica-se a expressão de Arrhenius com os parâmetros
e
dados na tabela/problema.
Passo 3
Como transformar o enunciado em ações a executar (procedimento passo a passo):
- Converter temperaturas:
- Calcular
em com Arrhenius: A execução numérica exige e . - Para a parte (b): entender o critério de “mesmo resultado de difusão (em termos de concentração num ponto específico)”. Em problemas de difusão de penetração típica, a escala espacial de penetração (ou espalhamento da frente de difusão) cresce como a raiz de
: Portanto, para produzir a mesma penetração (mesma concentração em um determinado ponto ), precisamos que o produto seja o mesmo entre os dois processos: Assim, Substituindo as expressões de Arrhenius: Logo a fórmula prática para o tempo é Nessa expressão: -
é o tempo conhecido a (no problema horas). -
é o tempo procurado a . - Note que o pré-exponencial
cancelou: para a razão de tempos necessário para igualar perfis a duas temperaturas só é preciso (e e as temperaturas). Isso é útil porque, mesmo faltando , se for conhecido dá para calcular numericamente.
-
Passo 4
Resumo das fórmulas úteis (prontas para usar em prova):
- Conversão de temperaturas:
- Coeficiente de difusão (Arrhenius):
- Relação entre tempos para obter mesma penetração/concentração num ponto:
Expliquei: para (a) precisa de
e
; para (b) precisa de
(pois
cancela).
Passo 5
Aplicação prática: impossibilidade e exemplo numérico ilustrativo
-
Impossibilidade: Como mencionei, NÃO há valores numéricos únicos para a parte (a) sem os parâmetros de Arrhenius
e para Mg em Al. Para a parte (b) não se precisa de mas é imprescindível conhecer . Portanto, com os dados que você me enviou não é possível dar os números exatos exigidos pelo enunciado. -
Exemplo numérico (apenas para você ver como se faz na prática): supondo valores típicos da literatura (nota: estes valores são uma suposição ilustrativa; o seu enunciado/roteiro de laboratório ou tabela do professor pode ter outros números):
- Suponha
e (isto é ). - Primeiro converte-se as temperaturas:
- Calcular
: Avaliando o expoente: Assim - (Opcional) calcular
para referência: - Calcular
usando a fórmula do Passo 3. Tomando horas : Avaliando: Logo - Interpretação do exemplo: usando esses valores típicos, para obter a mesma penetração de Mg em Al que se consegue com
horas a , bastaria cerca de hora a . Isso mostra o efeito forte da temperatura na difusão (pequeno aumento de temperatura -> grande redução do tempo necessário).
- Suponha
Resposta
Não é possível calcular numericamente (a)
nem (b)
sem os parâmetros de Arrhenius
e
para magnésio em alumínio; é necessário pelo menos
para (b).\
Exemplo (assumindo e
):\
(a) .\
(b) (≈
minutos), para igualar o efeito de
horas a
.
Exemplo (assumindo
(a)
(b)