Questão 5.35

(a) Calcule o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a 450^{\circ} \mathrm{C}.
(b) Qual é o tempo exigido a 550^{\circ} \mathrm{C} para produzir o mesmo resultado de difusão (em termos da concentração em um ponto específico) ao obtido após 15 horas a 450^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a 450^\circ\mathrm{C}.
  • (b) Determinar o tempo a 550^\circ\mathrm{C} que produz o mesmo resultado de difusão (em termos de concentração num ponto específico) que foi obtido após 15 horas a 450^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Temperatura inicial: 450^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 550^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo conhecido: t_1 = 15 horas (correspondente ao processo a 450^\circ\mathrm{C}).
Observação importante (dados que faltam): o cálculo numérico do coeficiente de difusão exige os parâmetros da equação de Arrhenius para o par soluto/solvente (magnésio em alumínio), a saber o pré-exponencial D_0 e a energia de ativação Q. Esses parâmetros NÃO foram fornecidos no enunciado recebido. Sem D_0 e Q não é possível obter um valor numérico único para D. A seguir vou explicar passo a passo a teoria e o procedimento que se usa na prova, e depois mostro um exemplo numérico usando valores típicos da literatura (explicitando que são suposições).

Passo 2

Conceitos básicos — o que é o coeficiente de difusão e como aparece nas leis:
  • A difusão macroscópica em sólidos é descrita por Fick. O coeficiente de difusão D mede a rapidez com que as espécies se movem; unidades típicas: \mathrm{m^2/s}.
  • Para muitos solutos em metais D varia com a temperatura segundo a lei de Arrhenius:
D(T) = D_0 \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T}\right).
Expliquei cada símbolo:
  • D(T) é o coeficiente de difusão à temperatura absoluta T (em kelvin).
  • D_0 é o pré-exponencial (também chamado fator de frequência) com unidades de \mathrm{m^2/s}.
  • Q é a energia de ativação para difusão, em \mathrm{J/mol}.
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin. Para converter de Celsius para kelvin usa-se T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
No exame, quando pedirem "calcule o coeficiente de difusão a 450^\circ\mathrm{C}", a fórmula acima é a que se usa: converte-se 450^\circ\mathrm{C} para kelvin e aplica-se a expressão de Arrhenius com os parâmetros D_0 e Q dados na tabela/problema.

Passo 3

Como transformar o enunciado em ações a executar (procedimento passo a passo):
  1. Converter temperaturas: T_1 = 450^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1 = 450 + 273{,}15 = 723{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 550^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2 = 550 + 273{,}15 = 823{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular D em T_1 com Arrhenius: D_1 \equiv D(T_1) = D_0 \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T_1}\right).A execução numérica exige D_0 e Q.
  2. Para a parte (b): entender o critério de “mesmo resultado de difusão (em termos de concentração num ponto específico)”. Em problemas de difusão de penetração típica, a escala espacial de penetração (ou espalhamento da frente de difusão) cresce como a raiz de Dt: x \sim \sqrt{D\,t}.Portanto, para produzir a mesma penetração (mesma concentração em um determinado ponto x), precisamos que o produto D\,t seja o mesmo entre os dois processos: D_1\,t_1 = D_2\,t_2.Assim, t_2 = t_1 \cdot \dfrac{D_1}{D_2}.Substituindo as expressões de Arrhenius: \dfrac{D_1}{D_2} = \dfrac{D_0 \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R T_1}\right)}{D_0 \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R T_2}\right)} = \exp\!\left(\dfrac{Q}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)\right).Logo a fórmula prática para o tempo t_2 é t_2 = t_1 \exp\!\left(\dfrac{Q}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)\right).Nessa expressão:
    • t_1 é o tempo conhecido a T_1 (no problema t_1 = 15 horas).
    • t_2 é o tempo procurado a T_2.
    • Note que o pré-exponencial D_0 cancelou: para a razão de tempos necessário para igualar perfis a duas temperaturas só é preciso Q (e R e as temperaturas). Isso é útil porque, mesmo faltando D_0, se Q for conhecido dá para calcular t_2 numericamente.

Passo 4

Resumo das fórmulas úteis (prontas para usar em prova):
  • Conversão de temperaturas:
T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Coeficiente de difusão (Arrhenius):
D(T) = D_0 \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T}\right).
  • Relação entre tempos para obter mesma penetração/concentração num ponto:
t_2 = t_1 \exp\!\left(\dfrac{Q}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)\right).
Expliquei: para (a) precisa de D_0 e Q; para (b) precisa de Q (pois D_0 cancela).

Passo 5

Aplicação prática: impossibilidade e exemplo numérico ilustrativo
  • Impossibilidade: Como mencionei, NÃO há valores numéricos únicos para a parte (a) sem os parâmetros de Arrhenius D_0 e Q para Mg em Al. Para a parte (b) não se precisa de D_0 mas é imprescindível conhecer Q. Portanto, com os dados que você me enviou não é possível dar os números exatos exigidos pelo enunciado.
  • Exemplo numérico (apenas para você ver como se faz na prática): supondo valores típicos da literatura (nota: estes valores são uma suposição ilustrativa; o seu enunciado/roteiro de laboratório ou tabela do professor pode ter outros números):
    • Suponha D_0 = 1{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s} e Q = 135{,}000\\ \mathrm{J/mol} (isto é 135\\ \mathrm{kJ/mol}).
    • Primeiro converte-se as temperaturas: T_1 = 450 + 273{,}15 = 723{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_2 = 550 + 273{,}15 = 823{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Calcular D_1=D(T_1): D_1 = 1{,}2\times 10^{-4}\exp\!\left(-\dfrac{135{,}000}{8{,}314\cdot 723{,}15}\right).Avaliando o expoente: -\dfrac{135{,}000}{8{,}314\cdot 723{,}15}\approx -22{,}46, \quad \exp(-22{,}46)\approx 1{,}78\times 10^{-10}.Assim D_1 \approx 1{,}2\times 10^{-4}\times 1{,}78\times 10^{-10} \approx 2{,}1\times 10^{-14}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • (Opcional) calcular D_2 para referência: D_2 = 1{,}2\times 10^{-4}\exp\!\left(-\dfrac{135{,}000}{8{,}314\cdot 823{,}15}\right) \approx 3{,}2\times 10^{-13}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Calcular t_2 usando a fórmula do Passo 3. Tomando t_1 = 15 horas = 15\\ \mathrm{h}: t_2 = 15\\ \mathrm{h}\times \exp\!\left(\dfrac{135{,}000}{8{,}314}\left(\dfrac{1}{823{,}15}-\dfrac{1}{723{,}15}\right)\right).Avaliando: \dfrac{135{,}000}{8{,}314}\left(\dfrac{1}{823{,}15}-\dfrac{1}{723{,}15}\right)\approx -2{,}73, \quad \exp(-2{,}73)\approx 0{,}0655.Logo t_2 \approx 15\\ \mathrm{h}\times 0{,}0655 \approx 0{,}98\\ \mathrm{h}\approx 59\\ \text{minutos}.
    • Interpretação do exemplo: usando esses valores típicos, para obter a mesma penetração de Mg em Al que se consegue com 15 horas a 450^\circ\mathrm{C}, bastaria cerca de 1 hora a 550^\circ\mathrm{C}. Isso mostra o efeito forte da temperatura na difusão (pequeno aumento de temperatura -> grande redução do tempo necessário).

Resposta

Não é possível calcular numericamente (a) D(450^\circ\mathrm{C}) nem (b) t(550^\circ\mathrm{C}) sem os parâmetros de Arrhenius D_0 e Q para magnésio em alumínio; é necessário pelo menos Q para (b).\
Exemplo (assumindo D_0=1{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s} e Q=135{,}000\\ \mathrm{J/mol}):\
(a) D(450^\circ\mathrm{C})\approx 2{,}1\times 10^{-14}\\ \mathrm{m^2/s}.\
(b) t(550^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}98\\ \mathrm{h} (≈ 59 minutos), para igualar o efeito de 15 horas a 450^\circ\mathrm{C}.

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