Desenvolva a seguinte equação:
Equação 4.11b \bar{A}=\frac{C_{1}^{\prime} A_{1}+C_{2}^{\prime} A_{2}}{100}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\bar{A}=\frac{C_{1}^{\prime} A_{1}+C_{2}^{\prime} A_{2}}{100}
Vou listar claramente o que cada símbolo representa (apenas nomes genéricos; se tiver outro significado no seu curso, substitua):
  • \bar{A}: valor combinado (resultado) que a equação calcula.
  • C_{1}^{\prime} e C_{2}^{\prime}: coeficientes numéricos (geralmente percentuais, pois aparecem divididos por 100).
  • A_{1} e A_{2}: dois valores que estão sendo combinados (por exemplo, médias, amplitudes, áreas, etc.).
    Não foi pedido para resolver por nenhum incógnito específico, então o objetivo de “desenvolver” aqui será reescrever a expressão de forma equivalente, mostrar interpretações úteis e apresentar formas de isolar variáveis úteis para prova.

Passo 2

Primeira manipulação óbvia: distribuir a divisão por 100 sobre os termos do numerador. Isto é simplesmente usar a propriedade de que
\frac{x+y}{100}=\frac{x}{100}+\frac{y}{100}.
Aplicando na expressão:
\bar{A}=\frac{C_{1}^{\prime} A_{1}}{100}+\frac{C_{2}^{\prime} A_{2}}{100}.
Em linguagem de prova: divida cada termo do numerador por 100 separadamente — é uma operação válida porque é a mesma divisão aplicando-se a soma.

Passo 3

Reescrevendo com fatores que multiplicam A_{1} e A_{2}:
\bar{A}=\left(\frac{C_{1}^{\prime}}{100}\right)A_{1}+\left(\frac{C_{2}^{\prime}}{100}\right)A_{2}.
Agora é fácil ver que os coeficientes que multiplicam A_{1} e A_{2} são as frações \dfrac{C_{1}^{\prime}}{100} e \dfrac{C_{2}^{\prime}}{100}. Se esses coeficientes somarem 1 (isto é, se C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}=100), então \bar{A} é justamente uma média ponderada (combinação convexa) de A_{1} e A_{2}.

Passo 4

Para tornar a notação mais limpa em provas, costuma-se definir pesos:
w_{1}=\frac{C_{1}^{\prime}}{100},\qquad w_{2}=\frac{C_{2}^{\prime}}{100}.
Com isso a equação fica
\bar{A}=w_{1}A_{1}+w_{2}A_{2}.
Observações úteis:
  • Se C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}=100 então w_{1}+w_{2}=1 e \bar{A} é uma média ponderada.
  • Se C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}\neq100, \bar{A} é ainda uma combinação linear, mas não uma média no sentido usual (os pesos não somam 1).

Passo 5

Se na prova for necessário isolar uma das incógnitas, segue o passo a passo algébrico padrão (sempre verifique as condições de divisão, ex.: denominador não nulo).
Para isolar A_{1}:
  1. Multiplica-se ambos os lados por 100:
100\bar{A}=C_{1}^{\prime}A_{1}+C_{2}^{\prime}A_{2}.
  1. Isola-se o termo com A_{1}:
C_{1}^{\prime}A_{1}=100\bar{A}-C_{2}^{\prime}A_{2}.
  1. Divide-se por C_{1}^{\prime} (desde que C_{1}^{\prime}\neq0):
A_{1}=\frac{100\bar{A}-C_{2}^{\prime}A_{2}}{C_{1}^{\prime}}.

Passo 6

Para isolar C_{1}^{\prime} (por exemplo, se precisar encontrar o coeficiente percentual necessário):
  1. Parte de 100\bar{A}=C_{1}^{\prime}A_{1}+C_{2}^{\prime}A_{2}.
  2. Isola C_{1}^{\prime}A_{1}:
C_{1}^{\prime}A_{1}=100\bar{A}-C_{2}^{\prime}A_{2}.
  1. Divide por A_{1} (se A_{1}\neq0):
C_{1}^{\prime}=\frac{100\bar{A}-C_{2}^{\prime}A_{2}}{A_{1}}.
Isto dá C_{1}^{\prime} em mesmas unidades que estavam originalmente (se são percentuais, cuidado com a interpretação).

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar:
  • Suponha C_{1}^{\prime}=30, C_{2}^{\prime}=70, A_{1}=10, A_{2}=20.
    Então
\bar{A}=\frac{30\cdot10+70\cdot20}{100}=\frac{300+1400}{100}=\frac{1700}{100}=17.
Ou usando pesos w_{1}=0,30, w_{2}=0,70:
\bar{A}=0{,}30\cdot10+0{,}70\cdot20=3+14=17.
Isto mostra concretamente como aplicar na prova: multiplica, soma, divide por 100 (ou aplique os pesos diretamente).

Passo 8

Dicas para a prova (rápidas e práticas):
  • Se C_{1}^{\prime} e C_{2}^{\prime} são percentuais que somam 100, pense imediatamente em média ponderada; facilita checagens e estimativas.
  • Para isolar variáveis, primeiro livre-se do denominador multiplicando por 100, depois passe termos para um lado, por fim divida pelo coeficiente desejado.
  • Sempre verifique se não vai dividir por zero ao isolar.

Resposta

\bar{A}=\dfrac{C_{1}^{\prime}A_{1}}{100}+\dfrac{C_{2}^{\prime}A_{2}}{100}
\bar{A}=\left(\dfrac{C_{1}^{\prime}}{100}\right)A_{1}+\left(\dfrac{C_{2}^{\prime}}{100}\right)A_{2}
A_{1}=\dfrac{100\bar{A}-C_{2}^{\prime}A_{2}}{C_{1}^{\prime}}\quad(\text{se }C_{1}^{\prime}\neq0)
C_{1}^{\prime}=\dfrac{100\bar{A}-C_{2}^{\prime}A_{2}}{A_{1}}\quad(\text{se }A_{1}\neq0)

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