Desenvolva a seguinte equação:
Equação 4.11b
Equação 4.11b
Passo 1
O enunciado dá a equação
Vou listar claramente o que cada símbolo representa (apenas nomes genéricos; se tiver outro significado no seu curso, substitua):
-
: valor combinado (resultado) que a equação calcula. -
e : coeficientes numéricos (geralmente percentuais, pois aparecem divididos por ). -
e : dois valores que estão sendo combinados (por exemplo, médias, amplitudes, áreas, etc.).
Não foi pedido para resolver por nenhum incógnito específico, então o objetivo de “desenvolver” aqui será reescrever a expressão de forma equivalente, mostrar interpretações úteis e apresentar formas de isolar variáveis úteis para prova.
Passo 2
Primeira manipulação óbvia: distribuir a divisão por
sobre os termos do numerador. Isto é simplesmente usar a propriedade de que
Aplicando na expressão:
Em linguagem de prova: divida cada termo do numerador por
separadamente — é uma operação válida porque é a mesma divisão aplicando-se a soma.
Passo 3
Reescrevendo com fatores que multiplicam
e
:
Agora é fácil ver que os coeficientes que multiplicam
e
são as frações
e
. Se esses coeficientes somarem
(isto é, se
), então
é justamente uma média ponderada (combinação convexa) de
e
.
Passo 4
Para tornar a notação mais limpa em provas, costuma-se definir pesos:
Com isso a equação fica
Observações úteis:
- Se
então e é uma média ponderada. - Se
, é ainda uma combinação linear, mas não uma média no sentido usual (os pesos não somam 1).
Passo 5
Se na prova for necessário isolar uma das incógnitas, segue o passo a passo algébrico padrão (sempre verifique as condições de divisão, ex.: denominador não nulo).
Para isolar
:
- Multiplica-se ambos os lados por
:
- Isola-se o termo com
:
- Divide-se por
(desde que ):
Passo 6
Para isolar
(por exemplo, se precisar encontrar o coeficiente percentual necessário):
- Parte de
. - Isola
:
- Divide por
(se ):
Isto dá
em mesmas unidades que estavam originalmente (se são percentuais, cuidado com a interpretação).
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar:
- Suponha
, , , .
Então
Ou usando pesos
,
:
Isto mostra concretamente como aplicar na prova: multiplica, soma, divide por
(ou aplique os pesos diretamente).
Passo 8
Dicas para a prova (rápidas e práticas):
- Se
e são percentuais que somam , pense imediatamente em média ponderada; facilita checagens e estimativas. - Para isolar variáveis, primeiro livre-se do denominador multiplicando por
, depois passe termos para um lado, por fim divida pelo coeficiente desejado. - Sempre verifique se não vai dividir por zero ao isolar.