Questão 5.11
Quando o ferro
é submetido a uma atmosfera de gás nitrogênio, a concentração de nitrogênio no ferro,
, é dada por:
Os valores de
e
para esse sistema são
e
, respectivamente. Considere uma membrana delgada de ferro com
de espessura a
. Calcule o fluxo difusional através dessa membrana se a pressão do nitrogênio em um dos lados é de
e no outro é de
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo difusional através de uma membrana delgada de ferro de espessura
à temperatura
, sabendo que a pressão de nitrogênio de um lado é
e do outro é
.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Lei de solubilidade do N em ferro:
onde
está dado em
(percentual) e
é a pressão (unidades assumidas abaixo).
- Constantes de difusão:
- Espessura da membrana:
- Temperatura:
- Pressões nas faces:
Observação: não havia no enunciado densidade do ferro nem indicação explícita da unidade de
na fórmula de solubilidade. Para prosseguir usei a suposição consistente para problemas desse tipo: a pressão
na fórmula está em
(unidade coerente com os valores numéricos típicos) e a concentração
é porcentagem em massa. Também é necessário usar a densidade do ferro para converter porcentagem em concentração em massa por volume; vou assumir a densidade do ferro
(valor típico do ferro sólido). Não foi pedido explicitamente converter para mols, mas apresentarei também a taxa molar para dar intuição.
Passo 2
Explicando a ideia e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Cálculo do coeficiente de difusão
à temperatura . Para difusão em sólidos costuma valer a lei de Arrhenius:
onde
-
é o coeficiente de difusão em , -
é o pré-exponencial (dado), -
é a energia de ativação para difusão (dado, em ), -
é a constante dos gases ideais , -
é a temperatura em kelvin.
- Cálculo das concentrações de nitrogênio nas superfícies a partir da lei de solubilidade dada. A expressão fornece
em quando se usa em (assunção feita). Depois converteremos (porcentagem em massa) para concentração em massa por volume (em ) usando a densidade do ferro:
onde
é a fração mássica (adimensional) e
é a densidade do ferro em
.
- Cálculo do fluxo difusional estacionário usando a Lei de Fick (primeira lei) para uma membrana plana com gradiente linear de concentração (aproximação válida se não houver geração/consumo no interior e se o regime for estacionário):
Para situação de gradiente linear entre as duas faces separadas por
,
onde
é o fluxo de massa de nitrogênio por área por tempo (
),
são as concentrações em massa por volume nas faces. O sinal negativo indica que o fluxo ocorre no sentido de decrescimento de
; aqui interessa o módulo do fluxo.
- Se quisermos o fluxo molar, convertemos
em dividindo pela massa molar do nitrogênio . Para obter número de átomos por segundo por metro quadrado multiplicamos pelo número de Avogadro .
Agora aplicamos os cálculos numéricos seguindo estas fórmulas.
Passo 3
Cálculo de
.
Usando
,
,
e
:
Calcule o expoente:
portanto
(Explanação curta: o fator exponencial é muito pequeno porque a energia de ativação é grande comparada a
a essa temperatura, por isso
fica muito pequeno — difusão lenta.)
Passo 4
Cálculo das concentrações superficiais
(em
) usando a fórmula do enunciado. Vou calcular para
e
. Uso a mesma temperatura
do passo anterior.
Primeiro calcule a parte exponencial da solubilidade:
Agora para
:
Para
:
Diferença percentual:
(Interpretação: as concentrações em
são extremamente pequenas, da ordem de
, típico de gases dissolvidos em metais a essas temperaturas.)
Passo 5
Converter as porcentagens em concentração em massa por volume
(em
).
Primeiro transformar
em fração mássica:
Diferença de fração mássica:
Usando a densidade do ferro assumida
, obtemos as concentrações em massa por volume:
Diferença:
Passo 6
Aplicar a Lei de Fick (fluxo estacionário, gradiente linear):
Usando
,
e
:
(Interpretação rápida: o fluxo de massa de nitrogênio é extremamente pequeno, da ordem de
a
.)
Passo 7
Conversões para fluxo molar e para número de átomos por unidade de área por tempo (só para intuição):
Massa molar do N (por átomo)
.
Fluxo molar:
Número de átomos por segundo por metro quadrado: