Questão 35. Calcule a integral, efetuando uma mudançoa de variáveis apropriada.
\iint_{D} \cos \left(\frac{y-x}{y+x}\right) d A, em que D é a região trapezoidal com vértices (1,0),(2,0),(0,2) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}\cos\!\Bigl(\frac{y - x}{y + x}\Bigr)\,dA
sobre o trapézio D de vértices (1,0),(2,0),(0,2),(0,1).
O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas; vamos usar
u = y - x,\quad v = y + x
para simplificar o argumento do cosseno.

Passo 2

Definimos a transformação inversa
x = \frac{v - u}{2},\qquad y = \frac{u + v}{2}.
O Jacobiano é
J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix}-\tfrac12 & \tfrac12\\[6pt]\tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix} = -\tfrac12,
logo \lvert J\rvert = \tfrac12 e
dA = \frac12\,du\,dv.]

Passo 3

As fronteiras de D são
y =0 \Rightarrow u=-x,\;v=x \Rightarrow u=-v,
x =0 \Rightarrow u=y,\;v=y \Rightarrow u=v,
x+y =2 \Rightarrow v=2,
x+y =1 \Rightarrow v=1.
No plano (u,v), isso dá
1\le v\le 2,\quad -v\le u\le v.

Passo 4

Reescrevendo a integral em (u,v):
\iint_{D}\cos\!\Bigl(\tfrac{y-x}{y+x}\Bigr)\,dA = \iint_{R}\cos\!\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr)\,\frac12\,du\,dv = \frac12\int_{v=1}^{2}\int_{u=-v}^{v}\cos\!\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr)\,du\,dv.

Passo 5

No integral interno fazemos t=\tfrac{u}{v}, de modo que du=v\,dt e u=\pm v\Rightarrow t=\pm1. Assim
\int_{u=-v}^{v}\cos\!\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr)\,du = v\int_{t=-1}^{1}\cos(t)\,dt = v\bigl[\sin(t)\bigr]_{-1}^{1} = 2v\sin(1).
Então a integral fica
\frac12\int_{1}^{2}2v\sin(1)\,dv = \sin(1)\int_{1}^{2}v\,dv.

Passo 6

Calculando
\int_{1}^{2}v\,dv =\Bigl[\tfrac{v^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2},
temos o valor final
\frac{3}{2}\,\sin(1).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\sin(1)

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