Questão 36. Seja f uma função contínua em [0,1] e seja R a região triangular com vértices (0,0),(1,0) e (0,1). Mostre que
\iint_{R} f(x+y) d A=\int_{0}^{1} u f(u) d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de f(x+y) sobre o triângulo R com vértices (0,0),(1,0),(0,1). O conteúdo usado será escrever a integral dupla como iterada, fazer mudança de variável na integral interna e trocar a ordem de integração para chegar à forma desejada.

Passo 2

Descrevemos R por
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le 1-x\}.
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\iint_{R}f(x+y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}f(x+y)\,dy\,dx.
Na integral interna fazemos a substituição u=x+y, de modo que du=dy, e os limites passam de y=0\mapsto u=x e y=1-x\mapsto u=1. Assim,
\int_{y=0}^{1-x}f(x+y)\,dy =\int_{u=x}^{1}f(u)\,du.

Passo 3

Substituindo na integral dupla, obtemos
\iint_{R}f(x+y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{u=x}^{1}f(u)\,du\Bigr)\,dx.
O domínio de integração em (x,u) fica definido por 0\le x\le u\le1.

Passo 4

Trocando a ordem de integração, passamos a integrar primeiro em x de 0 a u e depois em u de 0 a 1:
\iint_{R}f(x+y)\,dA =\int_{u=0}^{1}\int_{x=0}^{u}f(u)\,dx\,du.
Como f(u) é constante em relação a x,
\int_{x=0}^{u}f(u)\,dx =f(u)\int_{0}^{u}dx =u\,f(u).
Portanto a integral dupla se reduz a
\int_{u=0}^{1}u\,f(u)\,du.

Resposta

\iint_{R} f(x+y)\,dA = \int_{0}^{1}u\,f(u)\,du.

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