Questão 1 (35 pontos)
(a) (15 pontos) Imagine um túnel atravessando o planeta Terra de superficie a superficie, em linha reta, passando pelo centro da Terra, ainda que isso seja inviável tecnologicamente. Seja
e
o raio e a massa da Terra, respectivamente, e
é a distância entre o centro da Terra e um pequeno corpo de massa
dentro do túnel. Considere a Terra uniforme e despreze atritos. Calcule a força gravitacional total que o corpo de massa
exerce sobre a Terra.
(a) (15 pontos) Imagine um túnel atravessando o planeta Terra de superficie a superficie, em linha reta, passando pelo centro da Terra, ainda que isso seja inviável tecnologicamente. Seja
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. Temos um túnel que atravessa a Terra passando pelo centro, e queremos calcular a força gravitacional total que um corpo de massa $ m $ dentro desse túnel exerce sobre a Terra. Para isso, vamos usar conceitos de Gravitação Universal e a Lei da Gravitação de Newton. Precisaremos saber o raio da Terra ($ R
M $), além de considerar que a Terra é uniforme e que não há atrito no túnel.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a força gravitacional atua dentro da Terra. De acordo com a Lei da Gravitação de Newton, a força entre dois corpos é dada por:
onde:
- $ F $ é a força gravitacional,
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas dos dois corpos,
- $ r $ é a distância entre os centros das massas.
No entanto, quando estamos dentro de uma esfera de massa uniforme, a força gravitacional exercida pela parte da Terra que está além da distância $ r $ (do centro até o corpo) se anula. Isso significa que apenas a massa que está a uma distância menor ou igual a $ r $ do centro contribui para a força gravitacional.
Passo 3
Vamos calcular a massa da Terra que está dentro de um raio $ r
\rho $) é constante e pode ser calculada por:
A massa $ M_{dentro} $ dentro de um raio $ r $ será:
Passo 4
Agora, aplicando novamente a Lei da Gravitação de Newton para encontrar a força gravitacional entre o corpo de massa $ m $ e a massa $ M_{dentro} $:
Substituindo $ M_{dentro} $:
Resposta
A força gravitacional total que o corpo de massa $ m $ exerce sobre a Terra dentro do túnel é: