Questão 1 (35 pontos)
(a) (15 pontos) Imagine um túnel atravessando o planeta Terra de superficie a superficie, em linha reta, passando pelo centro da Terra, ainda que isso seja inviável tecnologicamente. Seja R e M o raio e a massa da Terra, respectivamente, e r é a distância entre o centro da Terra e um pequeno corpo de massa m dentro do túnel. Considere a Terra uniforme e despreze atritos. Calcule a força gravitacional total que o corpo de massa m exerce sobre a Terra.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. Temos um túnel que atravessa a Terra passando pelo centro, e queremos calcular a força gravitacional total que um corpo de massa $ m $ dentro desse túnel exerce sobre a Terra. Para isso, vamos usar conceitos de Gravitação Universal e a Lei da Gravitação de Newton. Precisaremos saber o raio da Terra ($ R m M $), além de considerar que a Terra é uniforme e que não há atrito no túnel.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a força gravitacional atua dentro da Terra. De acordo com a Lei da Gravitação de Newton, a força entre dois corpos é dada por:
F = G m1 m2r^2
onde:
  • $ F $ é a força gravitacional,
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas dos dois corpos,
  • $ r $ é a distância entre os centros das massas.
No entanto, quando estamos dentro de uma esfera de massa uniforme, a força gravitacional exercida pela parte da Terra que está além da distância $ r $ (do centro até o corpo) se anula. Isso significa que apenas a massa que está a uma distância menor ou igual a $ r $ do centro contribui para a força gravitacional.

Passo 3

Vamos calcular a massa da Terra que está dentro de um raio $ r r é \rho $) é constante e pode ser calculada por:
rho
A massa $ M_{dentro} $ dentro de um raio $ r $ será:
rho = M43 pi R^3

Passo 4

Agora, aplicando novamente a Lei da Gravitação de Newton para encontrar a força gravitacional entre o corpo de massa $ m $ e a massa $ M_{dentro} $:
m
Substituindo $ M_{dentro} $:
Mdentro

Resposta

A força gravitacional total que o corpo de massa $ m $ exerce sobre a Terra dentro do túnel é:
m

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