Questão 1. (35 pontos) Resolva os seguintes limites:
(10 pontos)
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de limites no infinito, utilizando propriedades de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar usar a definição de limite, aproximações de funções logaritmos e cossenos para valores próximos de zero.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira parte do limite:
Para resolver essa expressão, lembramos que quando temos algo na forma
e
, isso se assemelha à expressão que define a função exponencial
. Mas aqui temos
no expoente, então precisamos ajustar isso.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão utilizando logaritmos para facilitar:
Agora, para
,
tende a zero, então podemos usar a aproximação do logaritmo natural para valores próximos de 1:
Aqui,
.
Passo 4
Aplicando a aproximação:
Multiplicando por
:
Passo 5
Portanto, temos:
Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial:
Quando
,
tende a infinito.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda parte do limite:
Para
pequeno, sabemos que:
Aqui,
, que tende a zero quando
.
Passo 7
Aplicando a aproximação:
Multiplicando por
:
Então, o limite dessa parte é 2.
Resposta
Somando os limites das duas partes:
Portanto,