Questão 1. (35 pontos) Resolva os seguintes limites:
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x infty(1+2x)^x^2 + x^2(1 - cos (2x))
Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de limites no infinito, utilizando propriedades de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar usar a definição de limite, aproximações de funções logaritmos e cossenos para valores próximos de zero.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira parte do limite:
lim x infty(1+2x)^x^2
Para resolver essa expressão, lembramos que quando temos algo na forma (1 + ax)^bx e x to infty, isso se assemelha à expressão que define a função exponencial e^ab. Mas aqui temos x^2 no expoente, então precisamos ajustar isso.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão utilizando logaritmos para facilitar:
ln((1+2x)^x^2) = x^2 cdot ln(1+2x)
Agora, para x to infty, 2x tende a zero, então podemos usar a aproximação do logaritmo natural para valores próximos de 1:
ln(1 + y) approx y - y^22 quando y to 0
Aqui, y = 2x.

Passo 4

Aplicando a aproximação:
ln(1+2x) approx 2x - (2x)^22 = 2x - 2x^2
Multiplicando por x^2:
x^2 cdot ln(1+2x) approx x^2 (2x - 2x^2) = 2x - 2

Passo 5

Portanto, temos:
ln((1+2x)^x^2) approx 2x - 2
Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial:
(1+2x)^x^2 approx e^2x - 2
Quando x to infty, e^2x - 2 tende a infinito.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda parte do limite:
limx to infty x^2 (1 - cos(2x))
Para y pequeno, sabemos que:
1 - cos(y) approx y^22
Aqui, y = 2x, que tende a zero quando x to infty.

Passo 7

Aplicando a aproximação:
1 - cos(2x) approx (2x)^22 = 42x^2 = 2x^2
Multiplicando por x^2:
x^2 cdot (1 - cos(2x)) approx x^2 cdot 2x^2 = 2
Então, o limite dessa parte é 2.

Resposta

Somando os limites das duas partes:
infty + 2 = infty
Portanto,
lim x infty(1+2x)^x^2 + x^2(1 - cos (2x)) = infty

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