• Questão 36. Calcule os limites abaixo.

Passo 1

A gente quer achar o limite limxto+inftyl(1+tfrac17xr)^x. Isso é um caso clássico de forma indeterminada exponencial, em que a gente usa o resultado básico limtto+inftyl(1+tfrac1tr)^t=e.

Passo 2

Para aplicar esse fato, observe que setamos t=7x. Como xto+infty, também t=7xto+infty.

Passo 3

Reescrevendo a potência original em função de t dá:
[
\bigl(1+\tfrac1{7x}\bigr)^x
=\bigl(1+\tfrac1t\bigr)^{t\cdot\frac x t}
=\bigl(1+\tfrac1t\bigr)^{t\cdot\frac{1}{7}}
=\bigl[(1+\tfrac1t)t\bigr]{\frac{1}{7}}.

Passo 4

Como tto+infty a parte (1+tfrac1t)^t tende a e. Então a expressão toda tende a e^1/7.

Resposta

e^1/7

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