Deseja-se construir uma piscina na forma de um paralelepípedo reto com base quadrada com volume de 20 m^3
- Se o lado da base mede x metros e a altura mede y metros, o custo do material é 6 vezes a área da piscina (área lateral mais a área da base). O custo da escavação é
.
Ache o valor exato de
em que o custo total é mínimo. Justifique.
Ache o valor exato de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer construir uma piscina retangular com base quadrada, onde o volume é de 20 metros cúbicos. Os lados da base medem $ x $ metros e a altura $ y $ metros. O objetivo é descobrir qual o valor exato de $ x $ que minimiza o custo total da construção. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, onde vamos expressar o custo em função de $ x $ e encontrar o mínimo dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar as variáveis usando o volume da piscina. Sabemos que o volume $ V $ de um paralelepípedo é dado por:
Sabendo que $ V = 20 , m³ $, temos:
Para facilitar, vamos isolar $ y $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo dos materiais. A piscina tem uma base quadrada e áreas laterais, então a área total $ A $ é:
A área da base é $ x^2 $ e a área lateral consiste em 4 lados, cada um com área $ x \cdot y $. Então:
O custo dos materiais é 6 vezes essa área:
Passo 4
Além do custo dos materiais, temos o custo da escavação, que é dado por $ 9xy $. Então, o custo total $ C $ é a soma dos dois custos:
Passo 5
Lembrando que já encontramos $ y $ em termos de $ x $:
Vamos substituir esse valor na função de custo:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, precisamos derivar $ C(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
Dividindo por 12:
Passo 8
Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados para encontrar $ x $:
Resposta
O valor exato de $ x $ que minimiza o custo total é $ x = \sqrt[3]{55} $ metros.