Deseja-se construir uma piscina na forma de um paralelepípedo reto com base quadrada com volume de 20 m^3
  • Se o lado da base mede x metros e a altura mede y metros, o custo do material é 6 vezes a área da piscina (área lateral mais a área da base). O custo da escavação é 9xy.
    Ache o valor exato de x em que o custo total é mínimo. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer construir uma piscina retangular com base quadrada, onde o volume é de 20 metros cúbicos. Os lados da base medem $ x $ metros e a altura $ y $ metros. O objetivo é descobrir qual o valor exato de $ x $ que minimiza o custo total da construção. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, onde vamos expressar o custo em função de $ x $ e encontrar o mínimo dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar as variáveis usando o volume da piscina. Sabemos que o volume $ V $ de um paralelepípedo é dado por:
V
Sabendo que $ V = 20 , m³ $, temos:
V = x^2 cdot y
Para facilitar, vamos isolar $ y $:
V = 20 , m³

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo dos materiais. A piscina tem uma base quadrada e áreas laterais, então a área total $ A $ é:
A áá
A área da base é $ x^2 $ e a área lateral consiste em 4 lados, cada um com área $ x \cdot y $. Então:
A = área da base + área lateral
O custo dos materiais é 6 vezes essa área:
x^2

Passo 4

Além do custo dos materiais, temos o custo da escavação, que é dado por $ 9xy $. Então, o custo total $ C $ é a soma dos dois custos:
9xy çã

Passo 5

Lembrando que já encontramos $ y $ em termos de $ x $:
y
Vamos substituir esse valor na função de custo:
x

Passo 6

Agora, para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, precisamos derivar $ C(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
x
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
C(x)

Passo 7

Vamos resolver essa equação para $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
12x = 660x^2
Dividindo por 12:
x^2

Passo 8

Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados para encontrar $ x $:
x

Resposta

O valor exato de $ x $ que minimiza o custo total é $ x = \sqrt[3]{55} $ metros.

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