Questão 36. Resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan (Método de Gauss-Jordan) e classifique quanto ao tipo de solução: SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{aligned} x+2 y+4 z & =0 \\\\ 2 x+3 y-z & =8 \\\ x-14 z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares:
Resolver o sistema usando o método de Gauss-Jordan (eliminação por linhas);
Classificar o sistema quanto ao tipo de solução: SPD (sistema possível determinado), SPI (sistema possível indeterminado) ou SI (sistema impossível).
Informações dadas (repetindo, para ficar claro):
As três equações acima e os coeficientes correspondentes.
Não há informações adicionais (como parâmetros); é um sistema numérico.]
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada (A|\mathbf{b}) do sistema. A matriz aumentada tem as colunas dos coeficientes e a coluna à direita dos termos independentes:
Breve aula sobre operações elementares (útil para Gauss-Jordan):
Existem três operações que podemos usar sem alterar o conjunto de soluções:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada numa forma reduzida por linhas (escalonada reduzida) em que as incógnitas apareçam isoladas ou até surgir uma linha contraditória que mostra inconsistencia.
Agora aplicamos operações de linha passo a passo (vou explicar a intenção de cada operação).]
Passo 3
Primeira etapa: zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 como pivô).
Usamos as operações
Interpretação da última linha. A linha R_3 corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -16,
ou seja,
0 = -16.
Isto é uma contradição: uma afirmação falsa independente das incógnitas. Quando, na matriz aumentada, aparece uma linha com todos coeficientes nulos e termo independente não nulo, isso indica que o sistema é inconsistente — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Observação prática: isso confirma o que daria também a substituição direta. Por exemplo, da terceira equação original \,x-14z=0 vem x=14z. Substituindo nas outras duas obtém-se uma contradição aritmética (equivalente ao que a eliminação expôs). Mas a eliminação é o método pedido e já mostrou a contradição de forma direta.
Passo 7
Conclusão didática:
Quando aparece uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0, significa que não há solução (o sistema é inconsistente).
Logo, o sistema não tem solução.
Força aí — esse resultado é melhor que tentar adivinhar na prova: quando aparecer uma linha zero com termo independente diferente de zero, a solução não existe.