Questão 36. Resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan (Método de Gauss-Jordan) e classifique quanto ao tipo de solução: SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{aligned} x+2 y+4 z & =0 \\\\ 2 x+3 y-z & =8 \\\ x-14 z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares:
\begin{cases} x+2y+4z=0,\\[4pt] 2x+3y-z=8,\\[4pt] x-14z=0. \end{cases}
O que o exercício pede:
  • Resolver o sistema usando o método de Gauss-Jordan (eliminação por linhas);
  • Classificar o sistema quanto ao tipo de solução: SPD (sistema possível determinado), SPI (sistema possível indeterminado) ou SI (sistema impossível).
Informações dadas (repetindo, para ficar claro):
  • As três equações acima e os coeficientes correspondentes.
  • Não há informações adicionais (como parâmetros); é um sistema numérico.]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada (A|\mathbf{b}) do sistema. A matriz aumentada tem as colunas dos coeficientes e a coluna à direita dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 8\\[4pt] 1 & 0 & -14 & 0 \end{array}\right].
Breve aula sobre operações elementares (útil para Gauss-Jordan):
  • Existem três operações que podemos usar sem alterar o conjunto de soluções:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada numa forma reduzida por linhas (escalonada reduzida) em que as incógnitas apareçam isoladas ou até surgir uma linha contraditória que mostra inconsistencia.
Agora aplicamos operações de linha passo a passo (vou explicar a intenção de cada operação).]

Passo 3

Primeira etapa: zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 como pivô).
Usamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos linha a linha:
  • Para R_2: [2,\,3,\,-1\mid 8] - 2\cdot[1,\,2,\,4\mid 0] = [2-2,\,3-4,\,-1-8\mid 8-0] = [0,\,-1,\,-9\mid 8].
  • Para R_3: [1,\,0,\,-14\mid 0] - [1,\,2,\,4\mid 0] = [0,\,-2,\,-18\mid 0].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -9 & 8\\[4pt] 0 & -2 & -18 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos um pivô na segunda coluna (linha 2). É conveniente ter o pivô igual a 1. Multiplicamos a linha 2 por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2.
Isso dá R_2=[0,\,1,\,9\mid -8]. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 9 & -8\\[4pt] 0 & -2 & -18 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Usamos o pivô 1 em R_2 para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2. Aplicamos
R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
Calculemos:
  • R_3 = [0,\,-2,\,-18\mid 0] + 2\cdot[0,\,1,\,9\mid -8] = [0,\,-2+2,\,-18+18\mid 0+2(-8)] = [0,\,0,\,0\mid -16].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 9 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -16 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da última linha. A linha R_3 corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -16,
ou seja,
0 = -16.
Isto é uma contradição: uma afirmação falsa independente das incógnitas. Quando, na matriz aumentada, aparece uma linha com todos coeficientes nulos e termo independente não nulo, isso indica que o sistema é inconsistente — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Observação prática: isso confirma o que daria também a substituição direta. Por exemplo, da terceira equação original \,x-14z=0 vem x=14z. Substituindo nas outras duas obtém-se uma contradição aritmética (equivalente ao que a eliminação expôs). Mas a eliminação é o método pedido e já mostrou a contradição de forma direta.

Passo 7

Conclusão didática:
  • Quando aparece uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0, significa que não há solução (o sistema é inconsistente).
  • Logo, o sistema não tem solução.
Força aí — esse resultado é melhor que tentar adivinhar na prova: quando aparecer uma linha zero com termo independente diferente de zero, a solução não existe.

Resposta

Sem solução.
SI (sistema impossível).

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