Questão 36. Resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan (Método de Gauss-Jordan) e classifique quanto ao tipo de solução: SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{r}x+3 y+z=0 \\\\ 3 x-3 y+z=8 \\\\ 2 y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan; (2) classificar o sistema quanto ao tipo de solução (SPD = sistema possível e determinado; SPI = sistema possível e indeterminado; SI = sistema impossível).
O sistema dado é
\begin{cases} x+3y+z=0\\[4pt] 3x-3y+z=8\\[4pt] 2y+z=0 \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • São três incógnitas \,x,y,z.
  • Temos três equações lineares.
  • Vamos usar operações elementares entre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) para reduzir a matriz aumentada até a forma reduzida (Gauss-Jordan).]

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz aumentada (A|\mathbf{b}) correspondente ao sistema; as colunas são x,y,z e o termo independente:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right)
Breve explicação do método Gauss-Jordan (sem pular passos): o objetivo é, por operações elementares nas linhas, transformar a parte à esquerda (a matriz dos coeficientes) na matriz identidade I_3. Quando isso ocorre, a coluna da direita mostra imediatamente os valores de \,x,y,z. As operações que usaremos são do tipo \mathrm{R}_i \leftarrow \mathrm{R}_i + k\mathrm{R}_j ou \mathrm{R}_i \leftarrow \lambda \mathrm{R}_i com \lambda\neq0.]

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna. O pivô inicial é o elemento \,a_{11}=1 (ótimo, já é 1). Usamos a operação
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 3\mathrm{R}_1.
Calculando a nova linha 2:
  • Para a primeira coluna: 3-3\cdot1=0.
  • Segunda coluna: -3-3\cdot3=-3-9=-12.
  • Terceira coluna: 1-3\cdot1=1-3=-2.
  • Termo independente: 8-3\cdot0=8.
A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -12 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right)]

Passo 4

Para simplificar os cálculos com inteiros, dividimos a segunda linha por -2 (escolha estratégica: reduzimos coeficientes mantendo inteiros):
\mathrm{R}_2 \leftarrow \frac{1}{-2}\mathrm{R}_2.
Calculando:
  • -12/(-2)=6.
  • -2/(-2)=1.
  • 8/(-2)=-4.
Agora a matriz é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 6 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right)]

Passo 5

Usamos o pivô em \mathrm{R}_2 (a entrada 6 na coluna y) para zerar os outros elementos da coluna 2 (ou seja, tornar as entradas acima e abaixo iguais a zero).
Operações:
\mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - \tfrac{1}{2}\mathrm{R}_2, \qquad \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \tfrac{1}{3}\mathrm{R}_2.
Cálculos detalhados:
Para \mathrm{R}_1 - \tfrac{1}{2}\mathrm{R}_2:
  • Coluna 1: 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 1.
  • Coluna 2: 3 - \tfrac{1}{2}\cdot 6 = 3 - 3 = 0.
  • Coluna 3: 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
  • Termo independente: 0 - \tfrac{1}{2}\cdot(-4) = 0 + 2 = 2.
Para \mathrm{R}_3 - \tfrac{1}{3}\mathrm{R}_2:
  • Coluna 1: 0 - \tfrac{1}{3}\cdot 0 = 0.
  • Coluna 2: 2 - \tfrac{1}{3}\cdot 6 = 2 - 2 = 0.
  • Coluna 3: 1 - \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.
  • Termo independente: 0 - \tfrac{1}{3}\cdot(-4) = 0 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{4}{3}.
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 2\\[6pt] 0 & 6 & 1 & -4\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3} \end{array}\right)]

Passo 6

Agora olhamos a terceira linha: ela tem apenas a coluna z não-nula (boa!), com valor \tfrac{2}{3}. Tornamos esse pivô igual a 1 dividindo a terceira linha por \tfrac{2}{3} (ou multiplicando por \tfrac{3}{2}):
\mathrm{R}_3 \leftarrow \tfrac{3}{2}\mathrm{R}_3.
Cálculos:
  • \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{3}{2}=1.
  • \tfrac{4}{3}\cdot \tfrac{3}{2}=2.
A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 2\\[6pt] 0 & 6 & 1 & -4\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)]

Passo 7

Agora eliminamos todas as outras entradas da coluna z usando \mathrm{R}_3.
Operações:
\mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - \tfrac{1}{2}\mathrm{R}_3, \qquad \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 1\cdot \mathrm{R}_3.
Cálculos:
Para \mathrm{R}_1 - \tfrac{1}{2}\mathrm{R}_3:
  • Coluna 1: 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 1.
  • Coluna 2: 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0.
  • Coluna 3: \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = 0.
  • Termo independente: 2 - \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 2 - 1 = 1.
Para \mathrm{R}_2 - \mathrm{R}_3:
  • Coluna 1: 0 - 0 = 0.
  • Coluna 2: 6 - 0 = 6.
  • Coluna 3: 1 - 1 = 0.
  • Termo independente: -4 - 2 = -6.
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 6 & 0 & -6\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)
Ainda falta tornar o pivô da segunda linha igual a 1; dividimos a segunda linha por 6:
\mathrm{R}_2 \leftarrow \tfrac{1}{6}\mathrm{R}_2,
obtendo
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)
Agora a parte esquerda é a matriz identidade I_3: chegamos ao formulário reduzido (RREF).]

Passo 8

Lemos a solução diretamente da matriz final:
  • Primeira linha: x = 1.
  • Segunda linha: y = -1.
  • Terceira linha: z = 2.
Portanto a solução é \,(x,y,z)=(1,-1,2).
Classificação do sistema:
  • A forma reduzida da matriz dos coeficientes é a identidade I_3, então o posto (rank) da matriz de coeficientes é 3.
  • O posto da matriz aumentada também é 3 (porque a redução chegou a uma linha não-nula por linha).
  • O número de incógnitas é 3. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|\mathbf{b})=3 e isso é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (SPD): tem uma única solução.

Resposta

\;x=1
\;y=-1
\;z=2
SPD

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