Questão 36. Resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan (Método de Gauss-Jordan) e classifique quanto ao tipo de solução: SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{r}x+3 y+z=0 \\\\ 3 x-3 y+z=8 \\\\ 2 y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan; (2) classificar o sistema quanto ao tipo de solução (SPD = sistema possível e determinado; SPI = sistema possível e indeterminado; SI = sistema impossível).
Vamos usar operações elementares entre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) para reduzir a matriz aumentada até a forma reduzida (Gauss-Jordan).]
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz aumentada (A|\mathbf{b}) correspondente ao sistema; as colunas são x,y,z e o termo independente:
Breve explicação do método Gauss-Jordan (sem pular passos): o objetivo é, por operações elementares nas linhas, transformar a parte à esquerda (a matriz dos coeficientes) na matriz identidade I_3. Quando isso ocorre, a coluna da direita mostra imediatamente os valores de \,x,y,z. As operações que usaremos são do tipo \mathrm{R}_i \leftarrow \mathrm{R}_i + k\mathrm{R}_j ou \mathrm{R}_i \leftarrow \lambda \mathrm{R}_i com \lambda\neq0.]
Passo 3
Eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna. O pivô inicial é o elemento \,a_{11}=1 (ótimo, já é 1). Usamos a operação
Usamos o pivô em \mathrm{R}_2 (a entrada 6 na coluna y) para zerar os outros elementos da coluna 2 (ou seja, tornar as entradas acima e abaixo iguais a zero).
Agora olhamos a terceira linha: ela tem apenas a coluna z não-nula (boa!), com valor \tfrac{2}{3}. Tornamos esse pivô igual a 1 dividindo a terceira linha por \tfrac{2}{3} (ou multiplicando por \tfrac{3}{2}):
Agora a parte esquerda é a matriz identidade I_3: chegamos ao formulário reduzido (RREF).]
Passo 8
Lemos a solução diretamente da matriz final:
Primeira linha: x = 1.
Segunda linha: y = -1.
Terceira linha: z = 2.
Portanto a solução é \,(x,y,z)=(1,-1,2).
Classificação do sistema:
A forma reduzida da matriz dos coeficientes é a identidade I_3, então o posto (rank) da matriz de coeficientes é 3.
O posto da matriz aumentada também é 3 (porque a redução chegou a uma linha não-nula por linha).
O número de incógnitas é 3. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|\mathbf{b})=3 e isso é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (SPD): tem uma única solução.