Questão 36. Resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan (Método de Gauss-Jordan) e classifique quanto ao tipo de solução: SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{r}x+y+z=4 \\\\ 2 x+y-z=10 \\\\ 2 x-y-7 z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Resolver o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
Classificar o tipo de solução entre SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível).
O método exigido é o método de Gauss-Jordan (reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada tem as colunas com os coeficientes de x, y, z e uma coluna extra com os termos independentes:
Breve lembrete das operações elementares permitidas (essas são as ferramentas do Gauss-Jordan):
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i, \lambda\neq0;
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (RREF), onde (se possível) cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna.]
Passo 3
Primeira etapa prática: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô inicial é o elemento \,1 da primeira linha, primeira coluna).
Interpretação da última linha. A terceira linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -14,
ou seja,
0 = -14.
Isto é uma contradição lógica: não existe x,y,z que satisfaçam 0=-14. No contexto de sistemas lineares, quando a redução por linhas produz uma linha da forma [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, isso significa que o sistema é inconsistente — não possui solução.
Critério geral que estamos aplicando:
Se a matriz aumentada reduzida contém uma linha [0\;\dots\;0\;|\;c] com c\neq 0 então o sistema é impossível (nenhuma solução).
Se não houver tal linha e o posto das coeficientes for igual ao número de incógnitas, o sistema tem solução única (SPD).
Se não houver tal linha e o posto for menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções (SPI).
Aqui encontramos a linha contraditória com c=-14, portanto o sistema é impossível.