Questão 36. Resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan (Método de Gauss-Jordan) e classifique quanto ao tipo de solução: SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{r}x+y+z=4 \\\\ 2 x+y-z=10 \\\\ 2 x-y-7 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Resolver o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
  • Classificar o tipo de solução entre SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível).
O sistema fornecido é
\left\{\begin{array}{r} x+y+z=4\\[4pt] 2x+y-z=10\\[4pt] 2x-y-7z=0 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • As incógnitas são x, y, z.
  • Temos três equações lineares com três incógnitas.
  • O método exigido é o método de Gauss-Jordan (reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada tem as colunas com os coeficientes de x, y, z e uma coluna extra com os termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 10\\[4pt] 2 & -1 & -7 & 0 \end{array}\right]
Breve lembrete das operações elementares permitidas (essas são as ferramentas do Gauss-Jordan):
  • trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i, \lambda\neq0;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
    O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (RREF), onde (se possível) cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna.]

Passo 3

Primeira etapa prática: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô inicial é o elemento \,1 da primeira linha, primeira coluna).
Faço as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Aplicando em termos de coeficientes:
  • Para R_2: (2,1,-1,10) - 2\cdot(1,1,1,4) = (0,-1,-3,2).
  • Para R_3: (2,-1,-7,0) - 2\cdot(1,1,1,4) = (0,-3,-9,-8).
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -9 & -8 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora pivotamos na segunda linha, segunda coluna. É conveniente transformar o pivô em 1. Multiplico a segunda linha por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & -3 & -9 & -8 \end{array}\right]
Explicando: escolher um pivô igual a 1 simplifica as contas e é padrão no Gauss-Jordan para facilitar a obtenção da forma reduzida.]

Passo 5

Eliminar os outros elementos na coluna do pivô (segunda coluna), tanto acima quanto abaixo do pivô 1 em R_2.
Faço:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Cálculos linha a linha:
  • R_1: (1,1,1,4) - (0,1,3,-2) = (1,0,-2,6).
  • R_3: (0,-3,-9,-8) + 3\cdot(0,1,3,-2) = (0,0,0,-14).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -14 \end{array}\right]]

Passo 6

Interpretação da última linha. A terceira linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -14,
ou seja,
0 = -14.
Isto é uma contradição lógica: não existe x,y,z que satisfaçam 0=-14. No contexto de sistemas lineares, quando a redução por linhas produz uma linha da forma [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, isso significa que o sistema é inconsistente — não possui solução.
Critério geral que estamos aplicando:
  • Se a matriz aumentada reduzida contém uma linha [0\;\dots\;0\;|\;c] com c\neq 0 então o sistema é impossível (nenhuma solução).
  • Se não houver tal linha e o posto das coeficientes for igual ao número de incógnitas, o sistema tem solução única ( SPD).
  • Se não houver tal linha e o posto for menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções ( SPI).
Aqui encontramos a linha contraditória com c=-14, portanto o sistema é impossível.

Resposta

SI — sistema impossível (não existe solução).

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