Questão 37. Determine a solução do PVI
\left\{\begin{array} { r l } { y ^ { \prime } + ( 1 + x ^ { 2 } ) e ^ { - x } y } & { = 0 } \\\ { y ( 0 ) } & { = 1 } \end{array} \quad \text { e } \quad \left\{\begin{array}{rl} y^{\prime}+y & =1+x^{2} \\\ y(0) & =2 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado apresenta dois problemas de valor inicial (PVI) para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem lineares. Em cada caso temos a forma
y'+P(x)\,y=Q(x),
com condição y(x_0)=y_0. A estratégia será:
  1. Calcular o fator integrante \mu(x)=\exp\bigl(\int P(x)\,dx\bigr).
  2. Escrever \frac{d}{dx}[\mu(x)\,y]=\mu(x)\,Q(x).
  3. Integrar, obter a solução geral e impor a condição inicial.

Passo 2

Para o primeiro PVI temos
y'+(1+x^2)e^{-x}\,y=0,
logo P(x)=(1+x^2)e^{-x} e Q(x)=0. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int(1+x^2)e^{-x}dx\Bigr).
Calculemos
\int(1+x^2)e^{-x}dx =\int e^{-x}dx+\int x^2e^{-x}dx =-e^{-x}-\bigl(x^2+2x+2\bigr)e^{-x} =-(x^2+2x+3)e^{-x}.
Logo
\mu(x)=\exp\bigl(-(x^2+2x+3)e^{-x}\bigr).

Passo 3

Usando o fator integrante, a equação torna-se exata:
\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr] =\mu(x)\cdot0=0 \quad\Longrightarrow\quad \mu(x)\,y=C_1 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{C_1}{\mu(x)} =C_1\exp\bigl((x^2+2x+3)e^{-x}\bigr).

Passo 4

Impondo y(0)=1 obtemos
\mu(0)=\exp\bigl(-(0^2+2\cdot0+3)e^{0}\bigr)=e^{-3}, \quad y(0)=\frac{C_1}{e^{-3}}=1 \;\Longrightarrow\;C_1=e^{-3}.
Portanto a solução do primeiro PVI é
y=\exp\bigl((x^2+2x+3)e^{-x}-3\bigr).

Passo 5

Para o segundo PVI temos
y'+y=1+x^2,
aqui P(x)=1 e Q(x)=1+x^2. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^x.
Multiplicando a equação por \mu(x) vem
\frac{d}{dx}\bigl[e^x\,y\bigr] =e^x(1+x^2).
Integramos o lado direito:
\int e^x(1+x^2)dx =\int e^xdx+\int x^2e^x dx =e^x+e^x(x^2-2x+2) =e^x(x^2-2x+3).

Passo 6

Logo
e^x\,y=e^x(x^2-2x+3)+C_2 \quad\Longrightarrow\quad y=x^2-2x+3+C_2e^{-x}.
Impondo y(0)=2
2=0-0+3+C_2\;\Longrightarrow\;C_2=-1,
e a solução do segundo PVI é
y=x^2-2x+3-e^{-x}.

Resposta

Primeiro PVI:
y(x)=\exp\bigl((x^2+2x+3)e^{-x}-3\bigr).
Segundo PVI:
y(x)=x^2-2x+3-e^{-x}.

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