Questão 39. Sejam a, b, c, d números reais satisfazendo a d-b c=0. Verifique que a equação
(a x+b y+m) d x+(c x+d y+n) d y=0
pode ser reduzida pela transformação
a x+b y=z, \quad d y=\frac{d z-a d x}{b}
na equação diferencial de variável separável da forma
M(x, z) d x+N(x, z) d z=0
Como aplicação, resolva
(x+y) d x+(3 x+3 y-4) d y=0
( Resp. x+3 y+2 \ln |2-x-y|=C)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
(a x + b y + m)\,dx + (c x + d y + n)\,dy = 0
com a condição \,a d - b c = 0. Queremos mostrar que, definindo
z = a x + b y, \quad dy = \frac{dz - a\,dx}{b},
a equação se reduz a uma forma de variáveis separáveis em x e z. Em seguida, aplicaremos esse método ao exemplo
(x+y)\,dx + (3x+3y-4)\,dy = 0.

Passo 2

Como a d - b c = 0 temos c = \tfrac{a d}{b}. Então
c x + d y = \frac{a d}{b}x + d y = \frac{d}{b}(a x + b y) = \frac{d}{b}\,z.
Logo a ODE original pode ser escrita como
(z + m)\,dx \;+\;\Bigl(\tfrac{d}{b}z + n\Bigr)\,dy = 0.

Passo 3

Substituindo dy = \tfrac{dz - a\,dx}{b} obtemos
(z + m)\,dx \;+\;\Bigl(\tfrac{d}{b}z + n\Bigr)\frac{dz - a\,dx}{b} =0.
Agrupando termos em dx e dz,
\Bigl(z + m - \tfrac{a n}{b} - \tfrac{a d}{b^2}z\Bigr)\,dx \;+\;\Bigl(\tfrac{d}{b^2}z + \tfrac{n}{b}\Bigr)\,dz =0.
Como \tfrac{a d}{b^2}=\tfrac{c}{b}, o coeficiente de dz depende só de z, mostrando que a equação é separável.

Passo 4

Uma equação na forma
M(x,z)\,dx + N(z)\,dz = 0
pode ser rearranjada para
\frac{dx}{dz} = -\frac{N(z)}{M(x,z)}
e integrada separadamente em x e z:
\int M_1(x)\,dx = \int N_1(z)\,dz + C.

Passo 5

No caso
(x+y)\,dx + (3x+3y-4)\,dy = 0
temos a=b=1, m=0, c=d=3, n=-4 e z=x+y. Como c x+d y=3z, a equação fica
z\,dx + (3z-4)\,dy = 0, \quad dy = dz - dx.
Então
z\,dx + (3z-4)(dz - dx) =0 \;\Longrightarrow\; (4 - 2z)\,dx + (3z-4)\,dz =0.
Isso é separável. Reescrevendo \tfrac{dx}{dz} = -\tfrac{3z-4}{4-2z} e integrando, chega-se a
x = \tfrac32\,z + \ln\lvert4-2z\rvert + C.
Substituindo z=x+y e ajustando a constante, obtemos
x + 3y + 2\ln\lvert2 - x - y\rvert = C.

Resposta

x + 3y + 2\ln\lvert2 - x - y\rvert = C

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