QUESTÃO 37

Duas barras metálicas distintas A e B têm o mesmo comprimento à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}. Quando aquecidas até a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}, seus comprimentos diferem de 0,1 \mathrm{~cm}. (Considere os coeficientes de dilatação linear da barra A de 6 \times 10^{-6} { }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e linear da barra B de 4 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.)
Qual é o comprimento das duas barras à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} ?
A) 50 cm
B) 150 cm
C) 500 cm
D) 1.000 cm

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o comprimento inicial comum, à temperatura de 0^\circ\mathrm{C}, de duas barras metálicas A e B. As informações dadas são:
\alpha_A = 6\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, \quad \alpha_B = 4\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1},
\Delta T = 100^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=100^\circ\mathrm{C},
e que, quando aquecidas até 100^\circ\mathrm{C}, os comprimentos das duas barras diferem de \;0,1\;\mathrm{cm}.
O comprimento comum inicial a ser encontrado será denotado por L_0. Não fazemos ainda nenhum cálculo neste passo, apenas colocamos o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Apresento a fórmula básica que vamos usar: a dilatação linear de uma barra é dada por
\Delta L = \alpha \, L_0 \, \Delta T.
Explicando cada símbolo (meu objetivo é que você entenda direitinho):
  • \Delta L é o acréscimo de comprimento causado pelo aquecimento (em centímetros se L_0 estiver em cm);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear da substância (em ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • L_0 é o comprimento inicial à temperatura de referência (aqui 0^\circ\mathrm{C}), que queremos achar;
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
    Essa fórmula vem da definição linear de dilatação: o aumento é proporcional ao comprimento inicial e à variação de temperatura.

Passo 3

Escrevemos as dilatações das duas barras usando a fórmula:
\Delta L_A = \alpha_A\, L_0\, \Delta T, \qquad \Delta L_B = \alpha_B\, L_0\, \Delta T.
Como as barras têm o mesmo L_0 em 0^\circ\mathrm{C}, essas expressões são corretas e explícitas.

Passo 4

A diferença entre as dilatações (ou seja, a diferença entre os comprimentos quando aquecidos a 100^\circ\mathrm{C}) é dada por
\Delta L_A - \Delta L_B = (\alpha_A-\alpha_B)\,L_0\,\Delta T.
Do enunciado sabemos que essa diferença vale 0,1\;\mathrm{cm}. Então montamos a equação:
(\alpha_A-\alpha_B)\,L_0\,\Delta T = 0,1.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos:
\alpha_A-\alpha_B = 6\times10^{-6}-4\times10^{-6}=2\times10^{-6}.
Logo
(2\times10^{-6})\,L_0\,(100)=0,1.
Multiplicando 2\times10^{-6} por 100 obtemos
2\times10^{-6}\times100 = 2\times10^{-4}.
Assim a equação fica
2\times10^{-4}\,L_0 = 0,1.

Passo 6

Agora isolamos L_0:
L_0 = \frac{0,1}{2\times10^{-4}}.
Para ver com notação científica:
0,1 = 1\times10^{-1},
então
L_0 = \frac{1\times10^{-1}}{2\times10^{-4}} = \frac{1}{2}\times10^{3} = 0,5\times10^{3}=500.
Portanto L_0 = 500. As unidades são centímetros, porque usamos a diferença em \mathrm{cm}. Então o comprimento inicial é 500\;\mathrm{cm}.

Passo 7

Fazendo um cheque rápido para não restarem dúvidas: calculemos as dilatações com L_0=500\;\mathrm{cm}.
\Delta L_A = 6\times10^{-6}\times500\times100 = 0,3\;\mathrm{cm},
\Delta L_B = 4\times10^{-6}\times500\times100 = 0,2\;\mathrm{cm},
diferença 0,3-0,2=0,1\;\mathrm{cm}, que confere com o enunciado. Tudo consistente — ótimo trabalho, você está indo bem!

Resposta

500 cm

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