Questão 37 (PAES - 3 etapa / 2006)
O quociente
é igual ao número:
a) i
b)
c)
d)
O quociente
a) i
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o quociente
e escolher a alternativa correta entre:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações dadas: os números complexos envolvidos são
e
. Não há outras restrições; podemos operar normalmente (observe que
).
Passo 2
Primeira ideia para simplificar: como tanto numerador quanto denominador estão elevados à mesma potência, podemos usar a propriedade
válida para
. Aplicando aqui,
Isso reduz o problema a calcular a fração
e depois elevar ao
º.
Passo 3
Para calcular
uso o truque do conjugado: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
. Assim,
Agora expandimos cuidadosamente. No numerador:
pois usamos
. No denominador:
Portanto
Passo 4
Voltando à potência, temos
Para calcular
usamos a periodicidade das potências de
:
, então
. Também
.
Outra forma (equivalente) é observar , logo
e portanto
.
Outra forma (equivalente) é observar
Passo 5
Concluímos que o quociente vale
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra c).
Resposta
(c)