Questão 37 (PAES - 3 etapa / 2006)
O quociente \frac{(1-\mathrm{i})^{5}}{(1+\mathrm{i})^{5}} é igual ao número:
a) i
b) 1+i
c) -i
d) 1-i

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente \dfrac{(1-\mathrm{i})^{5}}{(1+\mathrm{i})^{5}} e escolher a alternativa correta entre:
a) \mathrm{i}
b) 1+\mathrm{i}
c) -\mathrm{i}
d) 1-\mathrm{i}
Informações dadas: os números complexos envolvidos são 1-\mathrm{i} e 1+\mathrm{i}. Não há outras restrições; podemos operar normalmente (observe que 1+\mathrm{i}\neq 0).

Passo 2

Primeira ideia para simplificar: como tanto numerador quanto denominador estão elevados à mesma potência, podemos usar a propriedade
\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n},
válida para b\neq 0. Aplicando aqui,
\frac{(1-\mathrm{i})^{5}}{(1+\mathrm{i})^{5}}=\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{5}.
Isso reduz o problema a calcular a fração \dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} e depois elevar ao 5º.

Passo 3

Para calcular \dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} uso o truque do conjugado: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é 1-\mathrm{i}. Assim,
\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}.
Agora expandimos cuidadosamente. No numerador:
(1-\mathrm{i})^{2}=1-2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i},
pois usamos \mathrm{i}^{2}=-1. No denominador:
(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=1-\mathrm{i}^{2}=1-(-1)=2.
Portanto
\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{-2\mathrm{i}}{2}=-\mathrm{i}.

Passo 4

Voltando à potência, temos
\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{5}=(-\mathrm{i})^{5}.
Para calcular (-\mathrm{i})^{5} usamos a periodicidade das potências de \mathrm{i}: \mathrm{i}^{4}=1, então \mathrm{i}^{5}=\mathrm{i}. Também (-\mathrm{i})^{5}=(-1)^{5}\,\mathrm{i}^{5}=-1\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}.
Outra forma (equivalente) é observar (-\mathrm{i})^{2}=-1, logo (-\mathrm{i})^{4}=1 e portanto (-\mathrm{i})^{5}=( -\mathrm{i})^{4}\cdot(-\mathrm{i})=1\cdot(-\mathrm{i})=-\mathrm{i}.

Passo 5

Concluímos que o quociente vale -\mathrm{i}. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra c).

Resposta

(c) -\mathrm{i}

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