Questão 38: Discriminação de preço de terceiro grau (divide-se o mercado em grupos com diferentes elasticidades). O cinema Lumière, recém-inaugurado em uma pequena cidade do interior de Minas Gerais, deseja maximizar seu lucro. Para isso, decidiu adotar uma política de discriminação de preços por grupo, cobrando preços diferentes para estudantes e adultos. A gerência contratou você como consultor(a) de precificação. Os dados disponíveis são:
Função de demanda dos estudantes: Q_{E}=600-20 P_{E}
Função de demanda dos adultos: \mathrm{Q}_{A}=500-10 \mathrm{P}_{A}
Custo marginal por ingresso (mesmo para todos): R$ 10,00
Custo fixo: desprezável
A tarefa é calcular os preços ideais para estudantes ( \mathrm{P}_{\mathrm{E}} ) e adultos ( \mathrm{P}_{\mathrm{A}} ) que maximizam o lucro do cinema, bem como o lucro total obtido com essa política de precificação diferenciada. Com base no enunciado, calcule:
a) O preço ótimo a ser cobrado dos estudantes.
b) O preço ótimo a ser cobrado dos adultos.
c) As quantidades vendidas para cada público.
d) O lucro total do cinema.
Resposta:
a) P_{E}=R \ 20,00$
b) \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=\mathrm{R} \ 30,00$
c) \mathrm{Q}_{\mathrm{E}}=200 ; \mathrm{Q}_{\mathrm{A}}=200
d) \pi=R \ 6.000,00$

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de demanda dos dois grupos e o custo marginal constante, e pede os preços e quantidades que maximizam o lucro. O conteúdo é discriminação de preço de terceiro grau, em que tratamos cada mercado isoladamente. A estratégia de maximização de lucro é, para cada grupo, obter a função inversa da demanda, calcular a receita total \mathrm{TR}(Q), derivá-la para obter a receita marginal \mathrm{MR}(Q) e igualar \mathrm{MR} = \mathrm{CM}. Em seguida, determinamos o preço correspondente pela função inversa da demanda.

Passo 2

Para os estudantes, a demanda é
Q_E = 600 - 20\,P_E.
A inversa é
P_E = 30 - 0{,}05\,Q_E.
Logo a receita total é
\mathrm{TR}_E(Q_E) = P_E \cdot Q_E = 30\,Q_E - 0{,}05\,Q_E^2,
e a receita marginal
\mathrm{MR}_E = \frac{d\,\mathrm{TR}_E}{dQ_E} = 30 - 0{,}1\,Q_E.
Igualando ao custo marginal \mathrm{CM}=R\$10,00:
30 - 0{,}1\,Q_E = 10 \quad\Longrightarrow\quad Q_E = \frac{30-10}{0{,}1} = 200.
O preço ótimo vem de P_E = 30 - 0{,}05\cdot200 = 20.

Passo 3

Para os adultos, a demanda é
Q_A = 500 - 10\,P_A.
A inversa é
P_A = 50 - 0{,}1\,Q_A.
A receita total é
\mathrm{TR}_A(Q_A) = 50\,Q_A - 0{,}1\,Q_A^2
e a receita marginal
\mathrm{MR}_A = 50 - 0{,}2\,Q_A.
Igualando ao mesmo custo marginal:
50 - 0{,}2\,Q_A = 10 \quad\Longrightarrow\quad Q_A = \frac{50-10}{0{,}2} = 200.
O preço ótimo é P_A = 50 - 0{,}1\cdot200 = 30.

Passo 4

O lucro total é
\pi = \mathrm{TR}_E + \mathrm{TR}_A - \mathrm{CM}\,(Q_E+Q_A).
Calculando:
\mathrm{TR}_E = 20\cdot200 = 4000,\quad \mathrm{TR}_A = 30\cdot200 = 6000,
\text{custo total} = 10\,(200+200) = 4000,
\pi = (4000+6000) - 4000 = 6000.

Resposta

(a) P_E = \mathrm{R}\$\,20,00
(b) P_A = \mathrm{R}\$\,30,00
(c) Q_E = 200; Q_A = 200
(d) \pi = \mathrm{R}\$\,6.000,00

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