Questão 38

Um geólogo está analisando a profundidade a que se encontra um determinado fóssil. A profundidade d (em metros) é dada pela função \mathrm{d}(\mathrm{t})=10 \cdot \log (\mathrm{t}+1), onde t é a idade do fóssil em milhões de anos. Se a profundidade medida é de 20 metros, determine qual é a idade do fóssil.
(A) 99 milhões de anos.
(B) 1 milhão de anos.
(C) 9 milhões de anos.
(D) 100 milhões de anos.

Passo 1

O enunciado dá a função da profundidade em metros em função da idade em milhões de anos:
d(t)=10\cdot\log(t+1).
As informações relevantes são:
  • A variável t representa a idade do fóssil em milhões de anos (logo t\ge 0).
  • A profundidade medida é 20 metros, ou seja d(t)=20.
    A pergunta é: qual é o valor de t que satisfaz d(t)=20? (Escolha entre as alternativas dadas.)

Passo 2

Vamos escrever a equação que relaciona a profundidade medida com a função dada. Substituindo d(t)=20 na fórmula:
20 = 10\cdot\log(t+1).
Isso é simplesmente substituir o valor numérico medido na expressão fornecida.

Passo 3

Isolamos o termo logarítmico para simplificar a equação. Dividimos ambos os lados por 10:
\frac{20}{10} = \log(t+1).
Fazendo a divisão obtemos
2 = \log(t+1).

Passo 4

Agora precisamos “desfazer” o logaritmo. Aqui é importante lembrar o significado do logaritmo decimal: \log(x) significa \log_{10}(x), e a definição é
\log_{10}(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad 10^{y}=x.
Ou seja, se \log(t+1)=2, então t+1 é a potência de 10 cujo expoente é 2.

Passo 5

Aplicando a equivalência do passo anterior:
t+1 = 10^{2}.
Calculamos 10^{2}:
10^{2}=100,
logo
t+1=100.

Passo 6

Isolamos t subtraindo 1 de ambos os lados:
t = 100-1 = 99.
Portanto a idade do fóssil é 99 milhões de anos.

Passo 7

Conferência rápida: substituindo t=99 na fórmula original temos
d(99)=10\cdot\log(99+1)=10\cdot\log(100)=10\cdot 2=20,
que coincide com a profundidade medida. Tudo consistente.

Passo 8

Concluímos e escolhemos a alternativa correta entre as opções dadas: (A) corresponde a 99 milhões de anos.

Resposta

(A) 99 milhões de anos.

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