Questão 40

Imagine que você esteja trabalhando em um projeto de design para um novo monumento em uma praça pública. Parte do projeto envolve a construção de um cone circular reto, que será usado como uma peça central decorativa. O cone deve ser feito de metal e você precisa calcular a quantidade de material necessário para cobrir toda a superfície do cone, incluindo a base. O cone tem uma altura de 12 cm e um raio da base de 5 cm . Para determinar a quantidade de material, calcule a área total da superfície do cone e assinale a alternativa correta.
(A) 180 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(B) 90 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(C) 135 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(D) 75 \pi \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados:
    • altura do cone: h = 12\\ \mathrm{cm}
    • raio da base: r = 5\\ \mathrm{cm}
  • Pergunta:
    • Calcular a área total da superfície do cone, incluindo a base, e indicar a alternativa correta entre as opções fornecidas.

Passo 2

Entendendo o que é necessário calcular: a área total de um cone circular reto com base fechada é a soma da área lateral (a “casca” do cone) com a área da base (o disco). Em fórmulas:
A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + A_{\text{base}}.
Aqui:
  • A_{\text{lateral}} é a área lateral do cone;
  • A_{\text{base}} é a área do disco da base.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Área da base (disco) de raio r:
A_{\text{base}} = \pi r^{2},
onde r é o raio da base.
  • Área lateral do cone: se l é a geratriz (slant height) do cone, então
A_{\text{lateral}} = \pi r l.
Explicação intuitiva rápida do porquê: a superfície lateral “desenrolada” do cone é um setor circular de raio l cuja extensão do arco é exatamente a circunferência da base 2\pi r. A área de um setor é \tfrac{1}{2}\times(\text{raio do setor})\times(\text{comprimento do arco}), ou seja \tfrac{1}{2}\cdot l\cdot(2\pi r)=\pi r l.

Passo 4

Precisamos do valor de l (geratriz). No triângulo retângulo formado pela altura h, pelo raio r e pela geratriz l, vale o Teorema de Pitágoras:
l^{2} = r^{2} + h^{2}.
Substituindo os valores dados:
l^{2} = (5)^{2} + (12)^{2} = 25 + 144 = 169.
Portanto
l = \sqrt{169} = 13\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular a área da base usando r=5:
A_{\text{base}} = \pi r^{2} = \pi \cdot (5)^{2} = \pi \cdot 25 = 25\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 6

Calcular a área lateral usando r=5 e l=13:
A_{\text{lateral}} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 7

Somar as duas áreas para obter a área total:
A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + A_{\text{base}} = 65\pi + 25\pi = 90\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 8

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide com o resultado 90\pi\\ \mathrm{cm}^{2} é a alternativa (B). Excelente — conseguimos chegar ao resultado passo a passo!

Resposta

(B) 90\pi\\ \mathrm{cm}^{2}

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