Questão 40
Imagine que você esteja trabalhando em um projeto de design para um novo monumento em uma praça pública. Parte do projeto envolve a construção de um cone circular reto, que será usado como uma peça central decorativa. O cone deve ser feito de metal e você precisa calcular a quantidade de material necessário para cobrir toda a superfície do cone, incluindo a base. O cone tem uma altura de 12 cm e um raio da base de 5 cm . Para determinar a quantidade de material, calcule a área total da superfície do cone e assinale a alternativa correta.
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
-
Dados:
- altura do cone:
- raio da base:
- altura do cone:
-
Pergunta:
- Calcular a área total da superfície do cone, incluindo a base, e indicar a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Passo 2
Entendendo o que é necessário calcular: a área total de um cone circular reto com base fechada é a soma da área lateral (a “casca” do cone) com a área da base (o disco). Em fórmulas:
Aqui:
-
é a área lateral do cone; -
é a área do disco da base.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
- Área da base (disco) de raio
:
onde
é o raio da base.
- Área lateral do cone: se
é a geratriz (slant height) do cone, então
Explicação intuitiva rápida do porquê: a superfície lateral “desenrolada” do cone é um setor circular de raio
cuja extensão do arco é exatamente a circunferência da base
. A área de um setor é
, ou seja
.
Passo 4
Precisamos do valor de
(geratriz). No triângulo retângulo formado pela altura
, pelo raio
e pela geratriz
, vale o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores dados:
Portanto
Passo 5
Calcular a área da base usando
:
Passo 6
Calcular a área lateral usando
e
:
Passo 7
Somar as duas áreas para obter a área total:
Passo 8
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide com o resultado
é a alternativa (B). Excelente — conseguimos chegar ao resultado passo a passo!
Resposta
(B)