Questão 38. Resolva o sistema linear por qualquer método.
\left\{\begin{aligned} 2 x+2 y+4 z & =0 \\\\ -y-3 z+w & =0 \\\\ 3 x+y+z+2 w & =0 \\\ x+3 y-2 z-2 w & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo com quatro incógnitas x,y,z,w\) e pede para resolvê-lo. As equações são: \[\begin{cases} 2x+2y+4z=0,\\[4pt] -y-3z+w=0,\\[4pt] 3x+y+z+2w=0,\\[4pt] x+3y-2z-2w=0. \end{cases}
O objetivo é encontrar todos os quadruplos ((x,y,z,w)] que satisfazem todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema para aplicar eliminação por linhas (método de Gauss). A matriz aumentada (coeficientes e coluna de termos independentes) é
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 3 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right].
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação; as operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) preservam o conjunto de soluções. O objetivo é levar a matriz a uma forma escalonada reduzida (RREF) para ler as equações resultantes.]

Passo 3

Escolho uma linha com coeficiente 1 na primeira coluna para facilitar: troco a linha 1 com a linha 4. Isso é uma operação permitida. Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 4 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora uso a primeira linha (pivot na coluna 1) para zerar os elementos abaixo na coluna 1.]

Passo 4

Zerar entrada na linha 3: faço R_3\leftarrow R_3-3R_1.
Zerar entrada na linha 4: faço R_4\leftarrow R_4-2R_1.
Cálculos:
  • R_3-3R_1 = [3-3\cdot1,\\\ 1-3\cdot3,\\\ 1-3\cdot(-2),\\\ 2-3\cdot(-2)] = [0,\\\ -8,\\\ 7,\\\ 8].
  • R_4-2R_1 = [2-2\cdot1,\\\ 2-2\cdot3,\\\ 4-2\cdot(-2),\\\ 0-2\cdot(-2)] = [0,\\\ -4,\\\ 8,\\\ 4].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -8 & 7 & 8 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 8 & 4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora trabalho na coluna 2. É conveniente obter pivot 1 na segunda linha: multiplico R_2 por -1:
R_2\leftarrow -R_2 \Longrightarrow R_2=[0\\\ 1\\\ 3\\\ -1\\ |0].
Em seguida, uso R_2 para zerar as outras entradas da coluna 2:
  • R_1\leftarrow R_1-3R_2:
    R_1=[1,\\\ 3-3\cdot1,\\\ -2-3\cdot3,\\\ -2-3\cdot(-1)]=[1,\\\ 0,\\\ -11,\\\ 1].
  • R_3\leftarrow R_3+8R_2 (porque R_3 tem -8):
    R_3=[0,\\\ -8+8\cdot1,\\\ 7+8\cdot3,\\\ 8+8\cdot(-1)]=[0,\\\ 0,\\\ 31,\\\ 0].
  • R_4\leftarrow R_4+4R_2 (porque R_4 tem -4):
    R_4=[0,\\\ -4+4\cdot1,\\\ 8+4\cdot3,\\\ 4+4\cdot(-1)]=[0,\\\ 0,\\\ 20,\\\ 0].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -11 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 31 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 20 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora na coluna 3 vemos entradas 31 e 20. Tomo R_3 como linha pivot e a normalizo dividindo por 31:
R_3\leftarrow \frac{1}{31}R_3 = [0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\ |0].
Então zeramos a coluna 3 nas outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1+11R_3 (pois R_1 tem -11):
    R_1=[1,\\\ 0,\\\ -11+11\cdot1,\\\ 1+11\cdot0]=[1,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1].
  • R_2\leftarrow R_2-3R_3 (pois R_2 tem 3):
    R_2=[0,\\\ 1,\\\ 3-3\cdot1,\\\ -1-3\cdot0]=[0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ -1].
  • R_4\leftarrow R_4-20R_3 dá a linha zero:
    R_4=[0,\\\ 0,\\\ 20-20\cdot1,\\\ 0-20\cdot0]=[0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 0].
A matriz em forma reduzida é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora leio as equações correspondentes às linhas pivô:
  • Da primeira linha: x + w = 0, logo \;x = -w.
  • Da segunda linha: y - w = 0, logo \;y = w.
  • Da terceira linha: z = 0.
  • A quarta linha é 0=0 (sem informação nova).
Isso mostra que w é uma variável livre (posso chamar w=t, com t\in\mathbb{R}). Substituindo:
x=-t,\qquad y=t,\qquad z=0,\qquad w=t.
Forma vetorial da solução:
(x,y,z,w)=t(-1,1,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação: o espaço de soluções é uma reta passando pela origem (subespaço unidimensional), gerada pelo vetor (-1,1,0,1).

Resposta

(x,y,z,w)=t(-1,1,0,1),\\ t\in\mathbb{R}

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