Questão 40. Resolva o sistema dado, em que a, b e c são constantes. Ou seja, encontre os valores de x, y e z em função das constantes a, b e c.
\left\{\begin{array}{r} x+y+z=a \\ 2 x+2 z=b \\ 3 y+3 z=c \end{array}\right.

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado fornece o sistema linear com incógnitas x,y,z e constantes a,b,c:
\left\{\begin{array}{r} x+y+z=a \\\\ 2x+2z=b \\\\ 3y+3z=c \end{array}\right.
  • O objetivo é encontrar x, y e z em função de a,b,c.
Essas três equações e três incógnitas formam um sistema linear; as letras a,b,c são constantes conhecidas (no problema ficam simbólicas) e x,y,z são as incógnitas que queremos isolar.

Passo 2

Observar e simplificar as equações óbvias: nas segundas e terceiras equações há fator comum.
  • Da segunda equação:
2x+2z=b
fatora-se 2:
2(x+z)=b \quad\Rightarrow\quad x+z=\frac{b}{2}.
Expliquei: dividir ambos os lados por 2 é legítimo porque 2\neq0.
  • Da terceira equação:
3y+3z=c
fatora-se 3:
3(y+z)=c \quad\Rightarrow\quad y+z=\frac{c}{3}.
Agora temos duas relações simples: x+z=\dfrac{b}{2} e y+z=\dfrac{c}{3}.

Passo 3

Expressar x e y em função de z usando as relações obtidas.
  • Isolando x em x+z=\dfrac{b}{2}:
x=\frac{b}{2}-z.
  • Isolando y em y+z=\dfrac{c}{3}:
y=\frac{c}{3}-z.
Isso é útil porque agora só falta determinar z; depois voltamos para x e y.

Passo 4

Substituir as expressões de x e y na primeira equação x+y+z=a e resolver para z.
Substituição:
\left(\frac{b}{2}-z\right)+\left(\frac{c}{3}-z\right)+z=a.
Agora simplifico passo a passo:
  • Somar os termos constantes: \dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}.
  • Somar os termos em z: -z - z + z = -z.
Logo a equação vira
\frac{b}{2}+\frac{c}{3}-z=a.
Isolando -z:
-z=a-\frac{b}{2}-\frac{c}{3}.
Multiplicando por -1 (ou simplesmente mudando de sinal):
z=\frac{b}{2}+\frac{c}{3}-a.
Expliquei: trocar o sinal de ambos os lados é a operação inversa de multiplicar por -1.

Passo 5

Simplificar a expressão de z (opcional) e em seguida calcular x e y por substituição direta.
A expressão encontrada já é clara:
z=\frac{b}{2}+\frac{c}{3}-a.
Agora usar x=\dfrac{b}{2}-z:
x=\frac{b}{2}-\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{3}-a\right).
Desenvolvendo:
x=\frac{b}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{3}+a = a-\frac{c}{3}.
E usar y=\dfrac{c}{3}-z:
y=\frac{c}{3}-\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{3}-a\right).
Desenvolvendo:
y=\frac{c}{3}-\frac{b}{2}-\frac{c}{3}+a = a-\frac{b}{2}.
Observação didática: cada passo é apenas substituir e combinar termos iguais; manter a ordem ajuda a não errar sinais.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituir x,y,z nas equações originais para checar consistência.
  • Na primeira: x+y+z=(a-\tfrac{c}{3})+(a-\tfrac{b}{2})+\left(\tfrac{b}{2}+\tfrac{c}{3}-a\right)=a. OK.
  • Na segunda: 2x+2z=2(a-\tfrac{c}{3})+2\left(\tfrac{b}{2}+\tfrac{c}{3}-a\right)=b. OK.
  • Na terceira: 3y+3z=3(a-\tfrac{b}{2})+3\left(\tfrac{b}{2}+\tfrac{c}{3}-a\right)=c. OK.
Tudo confere: as expressões estão corretas.

Resposta

x=a-\dfrac{c}{3}
y=a-\dfrac{b}{2}
z=\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}-a

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