QUESTÃO 38

O valor da equação da reta tangente à curva y(x)= \sqrt{2 x}, em \mathrm{x}=2, é igual a:
(A) y=\frac{1}{2} x+1.
(B) y=x-1.
(C) y=\sqrt{2} x+\sqrt{2}.
(D) y=x / \sqrt{2}.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação da reta tangente à curva y(x)=\sqrt{2x} no ponto onde x=2.
Informações dadas:
\;y(x)=\sqrt{2x}.
\;x_0=2.
Queremos a equação da reta tangente (uma reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva ali).

Passo 2

Entender o que precisamos calcular: a equação da reta tangente é obtida conhecendo-se o ponto de tangência (x_0,y_0) e a inclinação (declive) m da curva nesse ponto. A fórmula ponto-declive é
y-y_0 = m(x-x_0).
Aqui x_0 é o valor de x do ponto de tangência, y_0 é o valor da função em x_0, e m é a derivada y'(x_0) (a inclinação da curva nesse ponto).

Passo 3

Vamos achar y_0, o valor da função em x_0=2. Substituímos na função:
y_0 = y(2) = \sqrt{2\cdot 2} = \sqrt{4} = 2.
Portanto o ponto de tangência é (2,2).

Passo 4

Agora precisamos da inclinação m=y'(x). Derivada da função y(x)=\sqrt{2x}. Escrevemos a função como potência para derivar facilmente:
y(x) = (2x)^{1/2}.
Usamos a regra da cadeia: se y = (u)^{1/2} com u=2x, então
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui \frac{du}{dx} é a derivada de u=2x, que é 2. Explicando em palavras: primeiro derivamos a raiz como potência 1/2, depois multiplicamos pela derivada da parte interna 2x.

Passo 5

Aplicando a conta:
y'(x) = \frac{1}{2}(2x)^{-1/2}\cdot 2.
O 2 multiplicando cancela com \tfrac{1}{2}, então
y'(x) = (2x)^{-1/2}.
Reescrevendo em forma de raiz,
y'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}.
Isto significa: a inclinação da curva em qualquer x é 1/\sqrt{2x}.

Passo 6

Avaliar a derivada em x_0=2 para obter a inclinação m:
m = y'(2) = \frac{1}{\sqrt{2\cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}.
Então a reta tangente tem declive m=\tfrac{1}{2} no ponto (2,2).

Passo 7

Usar a fórmula ponto-declive com x_0=2, y_0=2 e m=\tfrac{1}{2}:
y-2 = \frac{1}{2}(x-2).
Agora simplificamos:
y-2 = \frac{1}{2}x -1
y = \frac{1}{2}x -1 +2
y = \frac{1}{2}x +1.
Comparando com as alternativas, isto corresponde à alternativa (A).

Resposta

y=\frac{1}{2}x+1 (A)

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