QUESTÃO 38
O valor da equação da reta tangente à curva
, em
, é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
.
Informações dadas:
.
.
Queremos a equação da reta tangente (uma reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva ali).
Informações dadas:
Queremos a equação da reta tangente (uma reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva ali).
Passo 2
Entender o que precisamos calcular: a equação da reta tangente é obtida conhecendo-se o ponto de tangência
e a inclinação (declive)
da curva nesse ponto. A fórmula ponto-declive é
Aqui
é o valor de
do ponto de tangência,
é o valor da função em
, e
é a derivada
(a inclinação da curva nesse ponto).
Passo 3
Vamos achar
, o valor da função em
. Substituímos na função:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora precisamos da inclinação
. Derivada da função
. Escrevemos a função como potência para derivar facilmente:
Usamos a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui
é a derivada de
, que é
. Explicando em palavras: primeiro derivamos a raiz como potência
, depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Passo 5
Aplicando a conta:
O
multiplicando cancela com
, então
Reescrevendo em forma de raiz,
Isto significa: a inclinação da curva em qualquer
é
.
Passo 6
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação
:
Então a reta tangente tem declive
no ponto
.
Passo 7
Usar a fórmula ponto-declive com
,
e
:
Agora simplificamos:
Comparando com as alternativas, isto corresponde à alternativa (A).