Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
da expressão
Informações dadas e o que se busca:
- Queremos .
- Sabemos que .
- Precisamos decidir o comportamento de
quando
e comparar com .
Passo 2
Primeiro, lembrar (e justificar) um fato clássico sobre funções trigonométricas pequenas:
.
Explicando por que isso é útil: essa relação diz que, para pequeno,
é aproximadamente
. Mais precisamente,
. Também sabemos que
quando
. Esses dois fatos são fundamentais para estudar
perto de zero.
Explicando por que isso é útil: essa relação diz que, para
Passo 3
Usar as identidades para estudar
. Escrevemos
Agora tomamos limites:
e
. Portanto
Esse é um passo importante: mostra que, para
pequeno,
comporta-se como
.
Passo 4
A partir de
obtemos, ao elevar ao quadrado,
Isto significa que
tem a mesma ordem de grandeza de
quando
. Em termos assintóticos:
ou seja,
. Em particular,
quando
.
Passo 5
Analisar o outro termo:
. Esse termo tem um limite finito.
Agora combinamos os dois comportamentos:
e
. Logo a diferença
tende para
(um número que diverge para
menos um número que tende a
diverge para
).
Passo 6
Comentário sobre a regra de l’Hôpital (já que o enunciado pedia): a regra de l’Hôpital só pode ser aplicada a limites que apresentem formas indeterminadas do tipo
ou
. Aqui a expressão dada é uma diferença, e ao avaliá-la obtemos claramente
, que não é forma indeterminada — é um infinito. Portanto a regra de l’Hôpital não é aplicável nem necessária para este limite; a conclusão se obtém diretamente pelo comportamento assintótico de
e pelo fato de
ser limitado.