Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{cotan}^{2} x-e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\cotan^{2} x - e^{-x}.
Informações dadas e o que se busca:
  • Queremos \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\cotan^{2} x - e^{-x}\bigr).
  • Sabemos que \cotan x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Precisamos decidir o comportamento de \cotan^{2}x quando x\to 0 e comparar com e^{-x}.

Passo 2

Primeiro, lembrar (e justificar) um fato clássico sobre funções trigonométricas pequenas: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
Explicando por que isso é útil: essa relação diz que, para x pequeno, \sin x é aproximadamente x. Mais precisamente, \sin x = x + o(x). Também sabemos que \cos x \to 1 quando x\to 0. Esses dois fatos são fundamentais para estudar \cotan x perto de zero.

Passo 3

Usar as identidades para estudar x\cotan x. Escrevemos
x\cotan x = \frac{x\cos x}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x / x}.
Agora tomamos limites: \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x = 1 e \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1. Portanto
\lim_{x\to 0} x\cotan x = \frac{1}{1} = 1.
Esse é um passo importante: mostra que, para x pequeno, \cotan x comporta-se como 1/x.

Passo 4

A partir de \displaystyle \lim_{x\to 0} x\cotan x = 1 obtemos, ao elevar ao quadrado,
\lim_{x\to 0} x^{2}\cotan^{2} x = 1.
Isto significa que \cotan^{2} x tem a mesma ordem de grandeza de 1/x^{2} quando x\to 0. Em termos assintóticos:
\cotan^{2} x \sim \frac{1}{x^{2}}\quad (x\to 0),
ou seja, \cotan^{2} x = \dfrac{1}{x^{2}}(1+o(1)). Em particular, \cotan^{2} x \to +\infty quando x\to 0.

Passo 5

Analisar o outro termo: \displaystyle \lim_{x\to 0} e^{-x} = e^{0} = 1. Esse termo tem um limite finito.
Agora combinamos os dois comportamentos: \cotan^{2} x \to +\infty e e^{-x}\to 1. Logo a diferença
\cotan^{2} x - e^{-x}
tende para +\infty (um número que diverge para +\infty menos um número que tende a 1 diverge para +\infty).

Passo 6

Comentário sobre a regra de l’Hôpital (já que o enunciado pedia): a regra de l’Hôpital só pode ser aplicada a limites que apresentem formas indeterminadas do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}. Aqui a expressão dada é uma diferença, e ao avaliá-la obtemos claramente \infty - 1, que não é forma indeterminada — é um infinito. Portanto a regra de l’Hôpital não é aplicável nem necessária para este limite; a conclusão se obtém diretamente pelo comportamento assintótico de \cotan^{2}x e pelo fato de e^{-x} ser limitado.

Resposta

+\infty

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