Questão 1 (6 pontos):Pretende-se extrair,a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ,ácido acético de 2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução aquosa com 45 \%(em massa)de ácido.A concentração final do ácido no rafinado deve ser inferior a 10 \% . O solvente utilizado é o éter isopropílico puro.A extração pode ocorrer em contracorrente ou correntes cruzadas.Determine:
a)A vazão mínima de solvente para extração contracorrente.
b)O número de estágios para uma razão entre vazões solvente/diluente unitária( \mathrm{S} / \mathrm{D} \doteq 1 )para extração com correntes cruzadas(use a mesma quantidade de solvente para todos os estágios).
c)A máxima concentração de soluto que é possível realizar a extração.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
  • Vazão de alimentação (solução aquosa): D = 2000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Concentração em massa de ácido acético na alimentação: \,w_F = 0{,}45 (ou 45\%).
  • Condição exigida para o rafinado (fase aquosa que sai): w_R \le 0{,}10 (ou 10\%).
  • Solvente: éter isopropílico puro (entrada do solvente sem soluto).
  • Temperatura e pressão dadas: 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} (servem para escolher a curva de equilíbrio, se necessário).
  • A extração pode ser em contracorrente (item a) ) ou em correntes cruzadas (item b) ).
  • Pedidos:
    a) A vazão mínima de solvente para extração contracorrente.
    b) O número de estágios para extração em correntes cruzadas para \mathrm{S}/\mathrm{D}\doteq 1 (usar a mesma quantidade de solvente em cada estágio).
    c) A máxima concentração de soluto que é possível obter na fase extrato (fase orgânica) usando este solvente e as condições dadas.
Observação essencial: para resolver numericamente (dar valores numéricos concretos) é necessária a curva de equilíbrio do ácido acético entre água e éter isopropílico à 20^\circ\mathrm{C} (ou, equivalentemente, a expressão/valor do coeficiente de distribuição). Essa curva/coeficiente não foi fornecida no enunciado. Sem essa informação não é possível calcular números finais. A seguir eu explico passo a passo a teoria e dou as fórmulas que permitem calcular cada item assim que a curva de equilíbrio (ou um valor do coeficiente de distribuição) for fornecida; também mostro o algoritmo prático para chegar ao número de estágios no caso (b). No final eu apresento as expressões finais (simbólicas) que servem como resposta até que se informe a curva de equilíbrio.

Passo 2

Conceitos e notação (explicadinha e sem pular etapas):
  • Vamos chamar de x a fração em massa do soluto (ácido acético) na fase aquosa (rafinado) e de y a fração em massa do soluto na fase orgânica (extrato). Assim:
    • x = concentração de ácido na fase aquosa (kg ácido / kg fase aquosa).
    • y = concentração de ácido na fase solvente (kg ácido / kg fase orgânica).
  • Equilíbrio líquido–líquido: existe uma relação entre x e y dada pela curva de equilíbrio y = y^{\mathrm{eq}}(x). Uma forma bastante geral de escrever essa relação (quando se usa a definição clássica do coeficiente de distribuição \,K\, baseado em frações molares/mais correta em massas) é: K \equiv \frac{y/(1-y)}{x/(1-x)}.Dela segue a forma explícita y^{\mathrm{eq}}(x)=\frac{K\,x}{\,1 + x\,(K-1)\,},válida se o sistema pode ser aproximado por um único coeficiente K independente de x. Em geral a curva pode não ser linear e K pode depender de x; por isso o caso geral usa y^{\mathrm{eq}}(x) arbitrário.
  • Conservação de massa do soluto (equilação em uma unidade):
    • Balanço total de soluto: \;D\,w_F + S\,y_{\text{in}} = D\,w_R + S\,y_{\text{out}}.
    • Aqui y_{\text{in}} é a concentração do soluto no solvente que entra (no enunciado é solvente puro, logo y_{\text{in}}=0), y_{\text{out}} é concentração do soluto no extrato que sai.
  • Notação usada adiante:
    • D = vazão da alimentação = 2000\\ \mathrm{kg/h}.
    • w_F = 0{,}45.
    • w_R = objetivo 0{,}10.
    • S = vazão do solvente (por hora), variável que queremos determinar.
Importante: sem a função y^{\mathrm{eq}}(x) (ou sem um valor numérico de K), não dá pra obter valores numéricos para S ou para o número de estágios; posso, no entanto, dar as fórmulas exatas e um algoritmo (passo a passo) para cálculo assim que essa curva for conhecida.

Passo 3

Como achar a vazão mínima de solvente para contracorrente — método físico e fórmula geral
  1. Ideia física (em linguagem simples):
  • Em contracorrente, existe uma linha operacional que relaciona y e x. Para uma dada vazão de solvente S a linha operacional é uma reta que passa pelo ponto correspondente à alimentação de solvente e pelo ponto alimentação de diluente. A vazão mínima ocorre quando essa reta tangencia a curva de equilíbrio — é o “caso limite” em que não há folga entre equilíbrio e operação (análogo ao caso mínimo em destilação). Geometricamente: reta operacional tangente à curva de equilíbrio.
  1. Equação da reta operacional (forma útil):
  • Como o solvente entra puro ( y_{\text{in}}=0), a reta que liga o ponto (x=w_F,\;y=0) ao ponto onde sai o extrato (x=w_R,\;y=y_{\text{out}}) tem equação, em ponto-slope: y = \frac{D}{S}\,(w_F - x).(Ver: colocando x=w_F y=0; colocando x=w_R y = (D/S)(w_F-w_R) = y_{\text{out}}, compatível com o balanço total.)
  1. Condição de mínimo (tangência):
  • Para que a reta seja tangente à curva y^{\mathrm{eq}}(x) em algum ponto x_t (o ponto de “pinch”), as duas condições devem ser satisfeitas:
    (i) a reta passa pelo ponto de tangência: \frac{D}{S_{\min}}\,(w_F - x_t) = y^{\mathrm{eq}}(x_t),(ii) as declividades são iguais no ponto de tangência: -\frac{D}{S_{\min}} = \left.\frac{d\,y^{\mathrm{eq}}}{d x}\right|_{x=x_t}.
  • Eliminando \dfrac{D}{S_{\min}} entre as duas equações obtém-se a condição que determina x_t: (w_F - x_t)\;=\; -\,\frac{y^{\mathrm{eq}}(x_t)}{\left.\dfrac{d y^{\mathrm{eq}}}{d x}\right|_{x=x_t}}.Depois de achar x_t (resolvendo numericamente essa equação usando a curva de equilíbrio), a vazão mínima de solvente é S_{\min} \;=\; D\;\frac{w_F - x_t}{y^{\mathrm{eq}}(x_t)}.
  1. Observação prática:
  • Se a curva de equilíbrio for dada por um coeficiente constante K (i.e. y^{\mathrm{eq}}(x)=\dfrac{Kx}{1 + x(K-1)}), pode-se inserir essa expressão e resolver explicitamente a equação acima para x_t (será uma equação algébrica que se resolve numericamente). Eu escrevo a derivada necessária: \frac{d y^{\mathrm{eq}}}{d x}=\frac{K}{\bigl(1 + x(K-1)\bigr)^2}.Substituir em (w_F - x_t) = - y^{\mathrm{eq}}(x_t) / (d y^{\mathrm{eq}}/dx) fornece uma equação em x_t que pode ser resolvida por iteração (Newton, bisseção ou método numérico simples).
Resumo do passo prático para (a):
  • Passo A1: obter y^{\mathrm{eq}}(x) (curva ou dados experimentais).
  • Passo A2: montar a equação de tangência acima e resolver numericamente para x_t.
  • Passo A3: calcular S_{\min} = D (w_F - x_t)/y^{\mathrm{eq}}(x_t).

Passo 4

Como calcular o número de estágios em correntes cruzadas (S/D = 1), algoritmo e equações
  1. Entendimento do processo:
  • Em correntes cruzadas com n estágios iguais, cada estágio recebe a alimentação (ou o fluido que vem do estágio anterior) e um fluxo fresco de solvente S (aqui S é a vazão por estágio). No enunciado o pedido é para \mathrm{S}/\mathrm{D}\doteq 1. Interpreto isso como: o fluxo de solvente que entra em cada estágio é igual ao fluxo de alimentação (diluente) D. Este é o caso comum: S (por estágio) = D = 2000\\ \mathrm{kg/h}. Observação: se a intenção do professor fosse outra (por exemplo S_total/D = 1), o algoritmo a seguir se adapta trocando S por S_total/n; confirme o significado se tiver dúvida.
  1. Balanço de soluto por estágio (forma implícita, passo a passo):
  • Denotemos x_0 = w_F a concentração inicial do soluto no rafinado que entra no primeiro estágio (a alimentação).
  • No estágio i (i = 1,2,…), entra uma corrente aquosa com concentração x_{i-1} e um solvente fresco com y=0. Após contato e equilíbrio, saem:
    • raffinado do estágio i com concentração x_i,
    • extrato do estágio i com concentração y_i = y^{\mathrm{eq}}(x_i) (assumimos equilíbrio completo).
  • O balanço de soluto no estágio i (em kg/h) é: D\,x_{i-1} + S\cdot 0 \;=\; D\,x_i + S\,y_i.Rearranjando: x_i \;+\; \frac{S}{D}\,y^{\mathrm{eq}}(x_i) \;=\; x_{i-1}.Esta é uma equação implícita para x_i, pois y^{\mathrm{eq}}(x_i) depende de x_i. Para cada estágio resolve-se numericamente essa equação para x_i, dado x_{i-1}.
  1. Procedimento iterativo para achar número de estágios:
  • Dado S/D (aqui S/D=1):
    • Inicialize x_0 = w_F.
    • Para i = 1,2,\dots resolva numericamente a equação x_i + \frac{S}{D}\,y^{\mathrm{eq}}(x_i) = x_{i-1}para x_i.
    • Pare quando x_n \le w_R. Esse n é o número mínimo de estágios necessário.
  • Observação: a solução pode ser feita facilmente por um método de procura (ex.: testar x_i entre 0 e x_{i-1} e encontrar a raiz usando bisseção), porque a função do lado esquerdo é monótona em x_i para curvas de equilíbrio físicas.
  1. Caso especial com coeficiente constante K:
  • Se y^{\mathrm{eq}}(x)=\dfrac{Kx}{1 + x(K-1)}, então cada etapa exige resolver x_i + \frac{S}{D}\cdot\frac{K x_i}{1 + x_i(K-1)} = x_{i-1},para x_i. Com S/D=1 fica x_i + \frac{K x_i}{1 + x_i(K-1)} = x_{i-1}.Essa equação é resolvida numericamente em cada etapa até atingir x_n \le w_R.
Resumo do passo prático para (b):
  • Passo B1: obter y^{\mathrm{eq}}(x).
  • Passo B2: fixar S/D=1 (ou outra razão se essa for a interpretação).
  • Passo B3: iterar a equação de balanço por estágio até x_n \le w_R.
  • Passo B4: o menor n que satisfaz isso é o número de estágios requerido.

Passo 5

Qual é a máxima concentração de soluto possível na fase extrato (item c) — interpretação e fórmula
  • Conceito: a concentração máxima de soluto que a fase orgânica (solvente) pode atingir ao ser equilibrada com a fase aquosa é limitada pela curva de equilíbrio y^{\mathrm{eq}}(x). Para um determinado valor máximo de x que a fase aquosa pode apresentar durante o processo, a máxima y alcançável é o valor correspondente da curva.
  • Com a alimentação dada, a maior concentração de ácido que aparece na fase aquosa em qualquer ponto do processo será, no máximo, x = w_F = 0{,}45 (porque não há nenhuma fonte com concentração mais alta que a alimentação). Assim, a maior concentração possível na fase orgânica, ao ser colocada em equilíbrio com o fluido aquoso mais concentrado disponível, é y_{\max} \;=\; y^{\mathrm{eq}}(w_F).Em palavras: o solvente nunca pode, por equilíbrio, conter mais soluto do que a valor que corresponde ao equilíbrio com a fase aquosa mais concentrada que existe no processo.
  • Se, por acaso, existir alguma etapa onde a fase aquosa tem concentração maior do que w_F (por exemplo, se houvesse reciclo que concentra a fase aquosa), então o y_{\max} seria y^{\mathrm{eq}}(x_{\max}) com x_{\max} apropriado; com os dados fornecidos e sem reciclos, x_{\max}=w_F.
  • Para o caso de coeficiente constante K temos explicitamente: y_{\max} \;=\; y^{\mathrm{eq}}(w_F) \;=\; \frac{K\,w_F}{\,1 + w_F\,(K-1)\,}.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (opcional, apenas para ver como aplicar as fórmulas) — isto é um exemplo assumindo um valor hipotético de K. NOTA: isto é só ilustração; os resultados numéricos NÃO são os da questão real porque o enunciado não deu K nem a curva de equilíbrio.
  • Suponha por exemplo que K=2{,}0 (hipótese arbitrária). Então y^{\mathrm{eq}}(x)=\frac{2x}{1 + x}.A derivada é \dfrac{d y^{\mathrm{eq}}}{d x}=\dfrac{2}{(1+x)^2}.
    Resolvendo a equação de tangência descrita no Passo 3 daria um x_t numérico e daí S_{\min}. Em seguida, com S/D=1 poderíamos iterar a equação do Passo 4 e encontrar n. Finalmente y_{\max}=y^{\mathrm{eq}}(0{,}45)=\dfrac{2\times0{,}45}{1+0{,}45}= \dfrac{0{,}9}{1{,}45}\approx0{,}6207. Reforço: isto é só ilustração de método; não é resposta final da questão sem a curva real.

Passo 7

Resumo prático do que você precisa me passar (se quiser que eu calcule números concretos)
  • Para eu entregar os valores numéricos pedidos (a), (b) e (c) preciso da curva de equilíbrio entre éter isopropílico e água para ácido acético à 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}. Essa curva pode ser fornecida:
    • como uma expressão analítica y^{\mathrm{eq}}(x), ou
    • como um coeficiente de distribuição constante K (se essa aproximação for aceitável), ou
    • como uma tabela de pares (x,y) experimentais.
  • Se você me passar essa curva (ou um valor de K), eu executo agora mesmo:
    • (a) calculo S_{\min} resolvendo a condição de tangência;
    • (b) calculo o número mínimo de estágios em cross-current para \mathrm{S}/\mathrm{D}=1 (iterando as equações por estágio);
    • (c) dou y_{\max}=y^{\mathrm{eq}}(w_F) numérico.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos porque a curva de equilíbrio y^{\mathrm{eq}}(x) (ou o coeficiente de distribuição K) do ácido acético entre água e éter isopropílico a 20^\circ\mathrm{C} não foi fornecida. As respostas em forma fechada são:
a) \displaystyle S_{\min}=D\;\frac{w_F - x_t}{y^{\mathrm{eq}}(x_t)}, onde x_t satisfaz \displaystyle (w_F - x_t) = -\,\frac{y^{\mathrm{eq}}(x_t)}{\left.\dfrac{d y^{\mathrm{eq}}}{d x}\right|_{x=x_t}}.
b) Número de estágios n mínimo tal que, iterando a equação por estágio
\displaystyle x_i + \frac{S}{D}\,y^{\mathrm{eq}}(x_i)=x_{i-1} com x_0=w_F e S/D=1, obtemos x_n\le w_R.
c) \displaystyle y_{\max}=y^{\mathrm{eq}}(w_F).

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