Questão IV (0,40) - Cap. 16
Uma corda de tensão 300 N , fixa nas duas extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária:
y(x, t)=(0,20 m) \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(8 \pi t)
onde x=0 em uma extremidade, x em metros et em segundos.
a) Qual é a velocidade das ondas na corda?
b) Se a corda oscila no terceiro harmônico, qual é o período da oscilação?
c) Qual é a massa da corda?
d) Qual é o comprimento da corda?

Passo 1

O enunciado informa uma corda sob tensão T=300\\ \mathrm{N}, fixa em x=0 e x=L, vibrando no segundo harmônico com
y(x,t)=(0{,}20\\ \mathrm{m})\operatorname{sen}(x)\,\operatorname{sen}(8\pi t).
Queremos:
a) velocidade da onda v,
b) período do terceiro harmônico T_3,
c) massa da corda m,
d) comprimento da corda L.
Para isso vamos extrair o número de onda k e a frequência angular \omega e usar as relações de harmônicos em corda e a relação v=\sqrt{T/\mu}.

Passo 2

Da forma dada temos a parte espacial \operatorname{sen}(kx) com kx=x, logo
k=1\\ \mathrm{rad/m},
e a parte temporal \operatorname{sen}(\omega t) com \omega t=8\pi t, logo
\omega=8\pi\\ \mathrm{rad/s}.
A velocidade da onda é
v = \frac{\omega}{k} = \frac{8\pi}{1} = 8\pi\\ \mathrm{m/s}\approx25{,}13\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

No segundo harmônico n=2 de uma corda fixa temos
k = \frac{n\pi}{L} = \frac{2\pi}{L}.
Como k=1, segue
L = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\\ \mathrm{m}\approx6{,}28\\ \mathrm{m}.

Passo 4

No terceiro harmônico n=3 a frequência é
f_3 = \frac{3\,v}{2\,L}
e o período T_3=1/f_3. Substituindo v=8\pi e L=2\pi,
f_3 = \frac{3\,(8\pi)}{2\,(2\pi)} = 6\\ \mathrm{Hz}, \quad T_3 = \frac{1}{6}\\ \mathrm{s}\approx0{,}167\\ \mathrm{s}.

Passo 5

A densidade linear de massa é obtida de
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad\Longrightarrow\quad \mu = \frac{T}{v^2} = \frac{300}{(8\pi)^2}\\ \mathrm{kg/m}\approx0{,}475\\ \mathrm{kg/m}.
A massa total da corda é
m = \mu\,L = 0{,}475 \times 2\pi\\ \mathrm{kg}\approx2{,}99\\ \mathrm{kg}.

Resposta

a) v = 8\pi\\ \mathrm{m/s}\approx25{,}13\\ \mathrm{m/s}.
b) T_3 = \frac{1}{6}\\ \mathrm{s}\approx0{,}167\\ \mathrm{s}.
c) m \approx2{,}99\\ \mathrm{kg}.
d) L = 2\pi\\ \mathrm{m}\approx6{,}28\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados