Questão 42

Em um triângulo isósceles ABC com \mathrm{AB}=\mathrm{AC}>\mathrm{BC}, o ponto D é o ponto médio de B C. Sabendo que o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio \mathrm{R}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{e} que B C=16 \mathrm{~cm}, é correto afirmar que a área do triângulo ABC é
(A) 160 \mathrm{~cm}^{2}.
(B) 64 \mathrm{~cm}^{2}.
(C) 80 \mathrm{~cm}^{2}.
(D) 128 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles ABC com \mathrm{AB}=\mathrm{AC}>\mathrm{BC}. O ponto D é o ponto médio de BC. A circunferência circunscrita ao triângulo tem raio R=10\\ \mathrm{cm} e BC=16\\ \mathrm{cm}. A pergunta pede a área do triângulo ABC.
Informações relevantes listadas:
  • \mathrm{AB}=\mathrm{AC} (triângulo isósceles com vértice em A),
  • \mathrm{BC}=16\\ \mathrm{cm},
  • D é o ponto médio de BC (logo BD=DC=8\\ \mathrm{cm}),
  • raio da circunferência circunscrita R=10\\ \mathrm{cm},
  • precisamos calcular a área do triângulo ABC.

Passo 2

Primeira fórmula útil que vou usar e explicar: para qualquer triângulo, um lado qualquer (por exemplo a=BC) relaciona-se com o ângulo oposto A e o raio R da circunferência circunscrita por
a = 2R\sin A.
Aqui a é o comprimento do lado oposto ao ângulo A. Isso vem da lei dos senos: \dfrac{a}{\sin A}=2R. Vou usar essa fórmula para obter \sin A.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=BC=16 e R=10:
16 = 2\cdot 10 \cdot \sin A \quad\Rightarrow\quad \sin A = \frac{16}{20}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Agora precisamos de \cos A para poder usar fórmulas de ângulo metade. Do valor \sin A=\tfrac{4}{5} temos
\cos A = \pm\sqrt{1-\sin^2 A}=\pm\sqrt{1-\left(\tfrac{4}{5}\right)^2}=\pm\sqrt{1-\tfrac{16}{25}}=\pm\sqrt{\tfrac{9}{25}}=\pm\tfrac{3}{5}.
Qual sinal escolher? Como \mathrm{AB}=\mathrm{AC}>\mathrm{BC}, o ângulo no vértice A (oposto a BC) é o menor dos ângulos do triângulo (lados maiores estão opostos a ângulos maiores). Portanto A é um ângulo agudo, logo \cos A>0. Assim
\cos A = \tfrac{3}{5}.

Passo 5

Vamos explorar a geometria do isósceles: a reta AD que liga o vértice A ao ponto médio D do lado BC é mediana, bissetriz e altura ao mesmo tempo. Logo \angle BAD=\dfrac{A}{2} e o triângulo ABD é retângulo em D. Em ABD temos:
  • hipotenusa AB,
  • cateto BD=8,
  • ângulo no vértice A do triângulo ABD é \dfrac{A}{2}.
No triângulo retângulo ABD, a relação correta é
\sin\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\frac{BD}{AB}.
Vou usar essa relação para encontrar AB (vou chamar AB= s).

Passo 6

Para obter \sin\!\left(\tfrac{A}{2}\right) uso a fórmula do semiengulo (metade do ângulo):
\sin\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}.
Explicando rápido: essa fórmula vem das identidades trigonométricas para cosseno do dobro do ângulo e manipulação algébrica. Substituindo \cos A=\tfrac{3}{5}:
\sin\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\tfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\tfrac{2}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 7

Agora use BD=8 e \sin\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}} na relação \sin\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\dfrac{BD}{s}:
\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{8}{s}\quad\Rightarrow\quad s=8\sqrt{5}.
Logo \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=8\sqrt{5}. Para referência, s^2=(8\sqrt{5})^2=64\cdot5=320.

Passo 8

Agora calculo a altura AD. No triângulo retângulo ABD,
\cos\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\frac{AD}{AB}\quad\Rightarrow\quad AD = AB\cdot\cos\!\left(\tfrac{A}{2}\right).
Posso obter \cos\!\left(\tfrac{A}{2}\right) pela fórmula do semiengulo:
\cos\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{1+\tfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\tfrac{8}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Então
AD = AB\cdot\cos\!\left(\tfrac{A}{2}\right)=8\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=16.
Bom: a altura AD vale 16\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Com a altura em mãos, a área K do triângulo ABC é (base vezes altura sobre 2):
K=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 16}{2}=8\cdot 16=128.
Portanto a área é 128\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 10

Verificação alternativa (rápida e opcional): existe também a fórmula K=\dfrac{abc}{4R}. Aqui a=BC=16 e b=c=8\sqrt{5}, então
K=\frac{16\cdot(8\sqrt{5})\cdot(8\sqrt{5})}{4\cdot 10}=\frac{16\cdot 64\cdot 5}{40}=\frac{5120}{40}=128,
confirmação do resultado.

Resposta

\,128\\ \mathrm{cm}^2

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