Questão 42
Em um triângulo isósceles ABC com
, o ponto
é o ponto médio de
. Sabendo que o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio
que
, é correto afirmar que a área do triângulo ABC é
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá um triângulo isósceles
com
. O ponto
é o ponto médio de
. A circunferência circunscrita ao triângulo tem raio
e
. A pergunta pede a área do triângulo
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
(triângulo isósceles com vértice em ), -
, -
é o ponto médio de (logo ), - raio da circunferência circunscrita
, - precisamos calcular a área do triângulo
.
Passo 2
Primeira fórmula útil que vou usar e explicar: para qualquer triângulo, um lado qualquer (por exemplo
) relaciona-se com o ângulo oposto
e o raio
da circunferência circunscrita por
Aqui
é o comprimento do lado oposto ao ângulo
. Isso vem da lei dos senos:
. Vou usar essa fórmula para obter
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Passo 4
Agora precisamos de
para poder usar fórmulas de ângulo metade. Do valor
temos
Qual sinal escolher? Como
, o ângulo no vértice
(oposto a
) é o menor dos ângulos do triângulo (lados maiores estão opostos a ângulos maiores). Portanto
é um ângulo agudo, logo
. Assim
Passo 5
Vamos explorar a geometria do isósceles: a reta
que liga o vértice
ao ponto médio
do lado
é mediana, bissetriz e altura ao mesmo tempo. Logo
e o triângulo
é retângulo em
. Em
temos:
- hipotenusa
, - cateto
, - ângulo no vértice
do triângulo é .
No triângulo retângulo
, a relação correta é
Vou usar essa relação para encontrar
(vou chamar
).
Passo 6
Para obter
uso a fórmula do semiengulo (metade do ângulo):
Explicando rápido: essa fórmula vem das identidades trigonométricas para cosseno do dobro do ângulo e manipulação algébrica. Substituindo
:
Passo 7
Agora use
e
na relação
:
Logo
. Para referência,
.
Passo 8
Agora calculo a altura
. No triângulo retângulo
,
Posso obter
pela fórmula do semiengulo:
Então
Bom: a altura
vale
.
Passo 9
Com a altura em mãos, a área
do triângulo
é (base vezes altura sobre 2):
Portanto a área é
.
Passo 10
Verificação alternativa (rápida e opcional): existe também a fórmula
. Aqui
e
, então
confirmação do resultado.