Questão 1 (40 pontos)
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O que significa dizer que uma resposta é criticamente amortecida?

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é uma resposta criticamente amortecida, num sistema de segunda ordem. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem, razão de amortecimento \zeta e raízes do polinômio característico. Para resolver, vamos revisar o modelo canônico de um sistema de segunda ordem e ver como a condição \zeta=1 afeta suas raízes e a forma da resposta no tempo.

Passo 2

Considere o modelo canônico de um sistema linear e invariante no tempo de segunda ordem, cuja equação diferencial de resposta à entrada escalão unitário u(t) é
\ddot y(t) + 2\,\zeta\,\omega_n\,\dot y(t) + \omega_n^2\,y(t) \;=\; \omega_n^2\,u(t),
onde \omega_n é a frequência natural não amortecida e \zeta a razão de amortecimento. A função de transferência associada é
G(s) \;=\; \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\,\zeta\,\omega_n\,s + \omega_n^2}.

Passo 3

As raízes do polinômio característico s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0 são
s_{1,2} = -\zeta\,\omega_n \;\pm\; \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}.
Quando \zeta=1, o termo sob a raiz fica zero e obtemos raízes reais iguais (raiz dupla):
s_{1} = s_{2} = -\omega_n.

Passo 4

A raiz dupla real em s=-\omega_n faz com que a resposta ao escalão não oscile (não há parte imaginária) e decaie o mais rápido possível sem ultrapassar o valor de regime. Em outras palavras, para \zeta=1 o sistema atinge o equilíbrio em menor tempo sem produzir sobre-sinal ou oscilações.

Resposta

Uma resposta é criticamente amortecida quando a razão de amortecimento é \zeta=1, de modo que o polinômio característico tem raiz dupla real em s=-\omega_n. Isso garante retorno ao equilíbrio sem oscilações e com o tempo de assentamento mínimo possível sem sobre-sinal.

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