Questão 1 (40 pontos)
!!! Perguntas faíscas ( 10 pontos cada) !!!
O que significa dizer que uma resposta é criticamente amortecida?
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O que significa dizer que uma resposta é criticamente amortecida?
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é uma resposta criticamente amortecida, num sistema de segunda ordem. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem, razão de amortecimento
e raízes do polinômio característico. Para resolver, vamos revisar o modelo canônico de um sistema de segunda ordem e ver como a condição
afeta suas raízes e a forma da resposta no tempo.
Passo 2
Considere o modelo canônico de um sistema linear e invariante no tempo de segunda ordem, cuja equação diferencial de resposta à entrada escalão unitário
é
onde
é a frequência natural não amortecida e
a razão de amortecimento. A função de transferência associada é
Passo 3
As raízes do polinômio característico
são
Quando
, o termo sob a raiz fica zero e obtemos raízes reais iguais (raiz dupla):
Passo 4
A raiz dupla real em
faz com que a resposta ao escalão não oscile (não há parte imaginária) e decaie o mais rápido possível sem ultrapassar o valor de regime. Em outras palavras, para
o sistema atinge o equilíbrio em menor tempo sem produzir sobre-sinal ou oscilações.
Resposta
Uma resposta é criticamente amortecida quando a razão de amortecimento é
, de modo que o polinômio característico tem raiz dupla real em
. Isso garante retorno ao equilíbrio sem oscilações e com o tempo de assentamento mínimo possível sem sobre-sinal.