Questão 30: Diagrama de Estado

O gas ideal de n moles possui o seu volume inicial V_{1} e temperatura initial T_{1}. O sistema passa primeiro por um processo isotermico onde seu volume aumentar para V_{2}=2 V_{1}. O sistema continua expandir adiabaticamente para V_{3}=1,5 V_{2}. Depois o sistema foi compressado para V_{4}=\frac{1}{2} V_{3} por um processo isobarico. E finalmente, o sistema passe de novo um processo adiabatico e diminiuiu seu volume ate a sua temperatura voltou ser T=T_{1}.
(1) Encontre o volume final quando o sistema fecha o ciclo.
(2) Qual e a menor temperatura o sistema atingir durante o ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico de um gás ideal de n mols, partindo do estado (P_{1},V_{1},T_{1}). Os processos são, em sequência:
– expansão isotérmica de V_{1} a V_{2}=2V_{1} (a T=T_{1}),
– expansão adiabática de V_{2} a V_{3}=1,5V_{2},
– compressão isobárica de V_{3} a V_{4}=\tfrac12V_{3},
– expansão (ou compressão) adiabática de V_{4} até retornar à T_{1}, fechando o ciclo.
Para resolver, vamos usar as relações do gás ideal somadas às leis dos processos isotérmico T=\mathrm{const}, adiabático TV^{\gamma-1}=\text{const} e isobárico P=\text{const}\Rightarrow T\propto V.

Passo 2

Calcular a temperatura no fim da expansão adiabática (estado 3). Como o processo 1\to 2 é isotérmico, T_{2}=T_{1}. Para o adiabático 2\to 3 vale
T_{2}V_{2}^{\gamma-1}=T_{3}V_{3}^{\gamma-1}
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T_{3} = T_{2}\,\biggl(\frac{V_{2}}{V_{3}}\biggr)^{\gamma-1} = T_{1}\,\Bigl(\frac{2V_{1}}{1,5\cdot2V_{1}}\Bigr)^{\gamma-1} = T_{1}\,(2/3)^{\gamma-1}.

Passo 3

Calcular a temperatura no fim da compressão isobárica (estado 4). Como P_{3}=P_{4}, basta
\frac{T_{4}}{T_{3}}=\frac{V_{4}}{V_{3}} =\frac{\tfrac12V_{3}}{V_{3}}=\tfrac12,
então
T_{4}=\tfrac12\,T_{3} =\tfrac12\,T_{1}\,(2/3)^{\gamma-1}.

Passo 4

Determinar o volume final V_{5} no adiabático 4\to 5, sabendo que T_{5}=T_{1}. Da relação
T_{4}V_{4}^{\gamma-1}=T_{5}V_{5}^{\gamma-1}
temos
V_{5}^{\gamma-1} =V_{4}^{\gamma-1}\,\frac{T_{4}}{T_{1}} =(1,5V_{2}\cdot\tfrac12)^{\gamma-1}\,\tfrac12\,(2/3)^{\gamma-1}
mas 1,5V_{2}\cdot\tfrac12=V_{1}\cdot(1,5\cdot2\cdot\tfrac12)=V_{1}. Logo
V_{5}^{\gamma-1} =V_{1}^{\gamma-1}\,\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad V_{5} =V_{1}\,\bigl(\tfrac12\bigr)^{1/(\gamma-1)}.

Passo 5

Identificar a menor temperatura do ciclo. Comparamos T_{1}, T_{3}=T_{1}(2/3)^{\gamma-1} e
T_{4}=\tfrac12\,T_{1}(2/3)^{\gamma-1}.
Como \tfrac12(2/3)^{\gamma-1}< (2/3)^{\gamma-1}<1, a menor é
T_{\min}=T_{4} =\tfrac12\,T_{1}\,(2/3)^{\gamma-1}.

Resposta

(1) \displaystyle V_{5}=V_{1}\,\bigl(\tfrac12\bigr)^{1/(\gamma-1)}
(2) \displaystyle T_{\min}=\tfrac12\,T_{1}\,(2/3)^{\gamma-1}

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