Questão 41. Resolver
(2 x-5 y+3) d x-(2 x+4 y-6) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial
(2x - 5y + 3)\,dx \;-\;(2x + 4y - 6)\,dy \;=\;0
e pede a solução geral. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem que, após checar, não são exatas. Vamos precisar transformar em uma equação homogênea por meio de mudança de variáveis (translação) e, em seguida, usar a substituição Y=vX para obter uma equação separável.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{2x - 5y + 3}{2x + 4y - 6}.
Procuramos uma translação x = X + a, y = Y + b que elimine as constantes no numerador e denominador. Queremos
2(x+a)-5(y+b)+3 = 2X -5Y, \quad 2(x+a)+4(y+b)-6 = 2X +4Y.
Isto leva ao sistema
2a - 5b + 3 = 0, \quad 2a + 4b - 6 = 0,
cuja solução é a=1, b=1. Logo, X = x-1, Y = y-1.

Passo 3

Em termos de X,Y temos dy/dx = dY/dX, e a equação torna-se
\frac{dY}{dX} =\frac{2X-5Y}{2X+4Y},
que é homogênea de grau zero.

Passo 4

Fazemos a substituição Y = vX, de modo que
\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX},
e a equação vira
v + X\frac{dv}{dX} =\frac{2 - 5v}{2 + 4v}.
Isolando dv/dX,
X\frac{dv}{dX} =\frac{2-5v}{2+4v}\;-\;v =\frac{2 -5v -v(2+4v)}{2+4v} =\frac{2 -7v -4v^2}{2+4v}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{2+4v}{2 -7v -4v^2}\,dv = \frac{dX}{X}.
Observe que 2 -7v -4v^2 = -(4v^2+7v -2)=-(4v-1)(v+2). Logo
-\frac{2+4v}{(4v-1)(v+2)}\,dv = \frac{dX}{X}.
Fazendo frações parciais em \dfrac{1+2v}{(4v-1)(v+2)} e integrando, obtemos
-\frac{1}{3}\ln\bigl|4v-1\bigr| -\frac{2}{3}\ln\bigl|v+2\bigr| =\ln\bigl|X\bigr| + C.
Elevando exponencialmente e reagrupando constantes, chega-se a
(4v-1)\,(v+2)^2 = \frac{K}{X^3},
com K constante de integração.

Passo 6

Voltando às variáveis originais: v = \frac{Y}{X} = \frac{y-1}{\,x-1\,} e X = x-1. Então
4v-1 = \frac{4(y-1)}{x-1}-1 = \frac{-x+4y-3}{x-1}, \quad v+2 = \frac{y-1}{x-1}+2 = \frac{2x+y-3}{x-1}.
Substituindo em (4v-1)(v+2)^2 = K/(x-1)^3 e multiplicando ambos os lados por (x-1)^3, resulta
(-x+4y-3)\,(2x+y-3)^2 = K.
Podemos reescrever -x+4y-3 = -(x-4y+3) e absorver o sinal em K.

Resposta

(x - 4y + 3)\,(2x + y - 3)^2 = C,
onde C é constante de integração.

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