Questão 41

A respeito da velocidade escalar média e da velocidade vetorial média, assinale a opção correta.
(A) Em uma pista circular, a velocidade vetorial média é equivalente à velocidade escalar média.
(B) A velocidade vetorial média é sempre maior que a velocidade escalar.
(C) A velocidade escalar média é nula quando o deslocamento é nulo.
(E) A velocidade escalar média depende do tempo e da distância percorrida, enquanto a velocidade vetorial média depende do deslocamento e do tempo.
(O) Tanto a velocidade escalar média quanto a velocidade vetorial média dependem apenas do deslocamento total.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha a opção correta entre as afirmativas dadas sobre velocidade escalar média e velocidade vetorial média. As opções são:
  • (A) Em uma pista circular, a velocidade vetorial média é equivalente à velocidade escalar média.
  • (B) A velocidade vetorial média é sempre maior que a velocidade escalar.
  • (C) A velocidade escalar média é nula quando o deslocamento é nulo.
  • (E) A velocidade escalar média depende do tempo e da distância percorrida, enquanto a velocidade vetorial média depende do deslocamento e do tempo.
  • (O) Tanto a velocidade escalar média quanto a velocidade vetorial média dependem apenas do deslocamento total.
As informações relevantes dadas pelas opções são declarações sobre de que grandezas cada tipo de velocidade média depende (distância, deslocamento, tempo) e comparações entre elas.

Passo 2

Definições e fórmulas essenciais (explicando cada símbolo):
  • Seja s a distância total percorrida pelo objeto ao longo da trajetória (isto é, o comprimento do caminho efetivamente percorrido, sempre não-negativo).
  • Seja \Delta\vec{r} o deslocamento vetorial (vetor que liga a posição inicial à posição final).
  • Seja \Delta t o intervalo de tempo em que ocorreu o movimento (assumir \Delta t>0).
A velocidade escalar média (chamo de v_{\text{esc}}) é definida por
v_{\text{esc}}=\frac{s}{\Delta t}.
Aqui s é um escalar (somente a magnitude do caminho percorrido) e \Delta t é o tempo total.
A velocidade vetorial média (chamo de \vec{v}_{\text{vet}}) é definida por
\vec{v}_{\text{vet}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}.
Aqui \vec{v}_{\text{vet}} é um vetor: sua direção e sentido vêm do deslocamento \Delta\vec{r}, e sua magnitude é \dfrac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}.
Explicando em palavras: velocidade escalar média = quanto de caminho por tempo; velocidade vetorial média = quanto de deslocamento (vetor) por tempo.

Passo 3

Uma propriedade geométrica fundamental que precisamos: o comprimento do caminho entre dois pontos é sempre maior ou igual à distância em linha reta entre esses pontos. Em símbolos:
s \ge |\Delta\vec{r}|.
Isto decorre do fato intuitivo (ou do triângulo desigualdade): o menor caminho entre dois pontos é a reta, qualquer trajeto curvo tem comprimento igual ou maior.
Dividindo essa desigualdade por \Delta t>0, obtemos
\frac{s}{\Delta t} \ge \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}.
Pelo que definimos,
v_{\text{esc}} \ge |\vec{v}_{\text{vet}}|.
Ou seja: a velocidade escalar média é sempre maior ou igual à magnitude da velocidade vetorial média. Isso já responde, de forma geral, que a magnitude da velocidade vetorial média nunca é maior que a velocidade escalar média. (Se quiser, pense: se o caminho foi exatamente uma linha reta sem voltas, então s=|\Delta\vec{r}| e as duas magnitudes coincidem; caso contrário, s é maior.)

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior para analisar as opções:
  • A opção (B) afirma que a velocidade vetorial média é sempre maior que a velocidade escalar. Pelo que provamos temos a desigualdade contrária v_{\text{esc}}\ge|\vec{v}_{\text{vet}}|. Logo (B) é falsa. (Não precisa decorar — a razão é que distância total nunca é menor que o deslocamento.)

Passo 5

Contraexemplo clássico (serve também para avaliar A e C): imagine um corredor que dá exatamente uma volta completa numa pista circular de raio R. Então:
  • A distância percorrida é s=2\pi R (positivo).
  • O deslocamento é \Delta\vec{r}=\vec{0} (pois volta ao ponto inicial), então |\Delta\vec{r}|=0.
  • Para um intervalo de tempo \Delta t qualquer temos
v_{\text{esc}}=\frac{2\pi R}{\Delta t}>0, \qquad \vec{v}_{\text{vet}}=\frac{\vec{0}}{\Delta t}=\vec{0}.
Com esse exemplo vemos:
  • A afirmação (A) — que em uma pista circular as duas velocidades médias são equivalentes — é falsa: as duas só seriam equivalentes se a trajetória fosse uma linha reta entre os pontos inicial e final; na volta completa a velocidade vetorial média é nula enquanto a escalar é positiva.
  • A afirmação (C) — que a velocidade escalar média é nula quando o deslocamento é nulo — também é falsa, porque no exemplo o deslocamento é nulo mas a velocidade escalar média é positiva.

Passo 6

A opção (O) diz que ambas dependem apenas do deslocamento total. Isso contradiz as definições do passo 2: v_{\text{esc}} depende de s (distância percorrida) e \vec{v}_{\text{vet}} depende de \Delta\vec{r} (deslocamento). Logo (O) é falsa — a velocidade escalar média não depende só do deslocamento (pode haver deslocamento nulo mas distância não-nula).

Passo 7

Analise final da opção (E): ela diz que a velocidade escalar média depende do tempo e da distância percorrida, enquanto a velocidade vetorial média depende do deslocamento e do tempo. Compare com as fórmulas do passo 2:
v_{\text{esc}}=\frac{s}{\Delta t}\quad\text{(depende de \(s\) e \(\Delta t\))}, \qquad \vec{v}_{\text{vet}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\quad\text{(depende de \(\Delta\vec{r}\) e \(\Delta t\))}.
Isso corresponde exatamente ao enunciado da opção (E). Não há contradição nem exceção; a opção (E) está correta.
Pequena motivação amiga: lembre-se sempre — “escalaR = caminho (s)” e “vetorial = deslocamento (vetor)”. Isso resolve muita confusão rápida na prova.

Resposta

(E)

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