Questão 41. Sejam
um homomorfismo de anéis (comutativos com identidade) e
um ideal primo. Mostre que
é um ideal primo. O mesmo ocorre para
um ideal maximal?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um homomorfismo de anéis comutativos com unidade
e um ideal primo , o conjunto
é um ideal primo de . Em seguida pergunta se o mesmo vale quando
é um ideal maximal. Vamos usar as definições básicas de homomorfismo de anel, ideal, ideal primo e maximal, além da propriedade
.
e um ideal primo
é um ideal primo de
Passo 2
Mostramos primeiro que
é um ideal de
. Como
é homomorfismo de anéis, vale:
- Se
, então . Como é ideal, , logo . - Para todo
e , tem . Como e é ideal, , daí .
Portantoé ideal em .
Passo 3
Para ver que
é primo, pegamos
com
. Então
Como
é primo em
, isso implica
ou
. Assim
ou
. Logo
satisfaz a condição de primidade.
Passo 4
Agora, se
for maximal em
, a mesma prova mostra que
é ideal, mas não garante que seja maximal. De fato,
é maximal se e somente se
for sobrejetiva (nesse caso
é corpo). Em geral, sem sobrejeção,
pode falhar ser maximal. Por exemplo, considere a inclusão
.
Em o único ideal maximal é
, e
.
Mas não é maximal em
.
Em
Mas
Resposta
Para