Questão 41. Sejam \varphi: A \rightarrow B um homomorfismo de anéis (comutativos com identidade) e Q \subseteq B um ideal primo. Mostre que \varphi^{-1}(Q) \subseteq A é um ideal primo. O mesmo ocorre para Q=\mathfrak{M} um ideal maximal?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um homomorfismo de anéis comutativos com unidade \varphi\colon A\to B
e um ideal primo Q\subseteq B, o conjunto \varphi^{-1}(Q)=\{\,a\in A\mid \varphi(a)\in Q\}
é um ideal primo de A. Em seguida pergunta se o mesmo vale quando Q é um ideal maximal. Vamos usar as definições básicas de homomorfismo de anel, ideal, ideal primo e maximal, além da propriedade \varphi(ab)=\varphi(a)\,\varphi(b).

Passo 2

Mostramos primeiro que \varphi^{-1}(Q) é um ideal de A. Como \varphi é homomorfismo de anéis, vale:
  1. Se a,b\in \varphi^{-1}(Q), então \varphi(a),\varphi(b)\in Q. Como Q é ideal, \varphi(a)-\varphi(b)=\varphi(a-b)\in Q, logo a-b\in\varphi^{-1}(Q).
  2. Para todo r\in A e a\in \varphi^{-1}(Q), tem \varphi(ra)=\varphi(r)\,\varphi(a). Como \varphi(a)\in Q e Q é ideal, \varphi(r)\,\varphi(a)\in Q, daí ra\in\varphi^{-1}(Q).
    Portanto \varphi^{-1}(Q) é ideal em A.

Passo 3

Para ver que \varphi^{-1}(Q) é primo, pegamos a,b\in A com ab\in \varphi^{-1}(Q). Então
\varphi(ab)=\varphi(a)\,\varphi(b)\in Q.
Como Q é primo em B, isso implica \varphi(a)\in Q ou \varphi(b)\in Q. Assim a\in\varphi^{-1}(Q) ou b\in\varphi^{-1}(Q). Logo \varphi^{-1}(Q) satisfaz a condição de primidade.

Passo 4

Agora, se Q=\mathfrak{M} for maximal em B, a mesma prova mostra que \varphi^{-1}(\mathfrak{M}) é ideal, mas não garante que seja maximal. De fato, \varphi^{-1}(\mathfrak{M}) é maximal se e somente se \varphi for sobrejetiva (nesse caso
A/\varphi^{-1}(\mathfrak{M})\cong B/\mathfrak{M}
é corpo). Em geral, sem sobrejeção, \varphi^{-1}(\mathfrak{M}) pode falhar ser maximal. Por exemplo, considere a inclusão \varphi\colon \mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}.
Em \mathbb{Q} o único ideal maximal é 0, e \varphi^{-1}(0)=\ker\varphi=0.
Mas 0 não é maximal em \mathbb{Z}.

Resposta

\varphi^{-1}(Q) é sempre um ideal primo de A.
Para Q=\mathfrak{M} maximal, \varphi^{-1}(\mathfrak{M}) nem sempre é maximal, somente no caso em que \varphi é sobrejetiva.

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