Questão 46. Sejam A=\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}) e M um ideal maximal em A. Mostre que existe um a \in[0,1] tal que M=M_{a}, onde
M_{a}=\{f \in A: f(a)=0\}

Passo 1

O enunciado define o anel
A = \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})
e diz que M é um ideal maximal próprio em A. Queremos mostrar que existe um ponto a\in[0,1] tal que
M = M_{a},
onde
M_{a} = \{\,f\in A : f(a)=0\}.

Passo 2

Defina o conjunto dos zeros comuns de M por
Z(M) \;=\;\bigcap_{f\in M}f^{-1}(0)\;\subseteq[0,1].
Suponha, por absurdo, que Z(M)=\varnothing. Então para cada x\in[0,1] existe f_x\in M tal que f_x(x)\neq0. Como cada f_x é contínua,
U_x = \{\,y\in[0,1]\mid f_x(y)\neq0\}
é aberto em [0,1], e pelos pressupostos
\bigcup_{x\in[0,1]}U_x = [0,1].
Pela compacidade de [0,1] extraímos uma subcobertura finita U_{x_1},\dots,U_{x_n}. Defina
g = \sum_{i=1}^{n} \bigl(f_{x_i}\bigr)^2.
Então g(y)>0 para todo y\in[0,1], logo g é invertível em A; mas g\in M e M é ideal, daí existe h\in A com g\,h=1, isto é, 1\in M, contradizendo que M é próprio. Portanto Z(M)\neq\varnothing.

Passo 3

Escolha qualquer a\in Z(M). Por definição de Z(M), para todo f\in M vale f(a)=0, o que implica
M \;\subseteq\; M_a.
Mas M_a é um ideal maximal próprio de A e M também é maximal, então a inclusão força
M = M_a.

Resposta

Foi mostrado que existe a\in[0,1] tal que
M = M_{a}.

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