Questão 47. Seja
um produto de anéis. Mostre que
são ideais em
. Além disso, conclua que
Passo 1
O enunciado apresenta o anel produto
e define os subconjuntos
Pede-se (a) mostrar que
e
são ideais de
e (b) provar que
Para isso vamos usar a definição de ideal em anel e o Teorema do Homomorfismo de Anéis.
Passo 2
Mostramos que
é ideal em
.
-
é subgrupo aditivo de : se e estão em , então
e o inverso aditivo de
é
.
2. Fechamento sob multiplicação por qualquer :
2. Fechamento sob multiplicação por qualquer
e de modo análogo
.
Portanto é ideal bilateral em
.
Portanto
De forma análoga, trocando papéis de
e
, conclui-se que
também satisfaz as condições de ideal.
Passo 3
Definimos a projeção sobre o segundo fator
É fácil ver que
é homomorfismo de anéis e
Pelo Teorema do Homomorfismo de Anéis,
Passo 4
De modo análogo, consideramos a projeção sobre o primeiro fator
cujo núcleo é
. Pelo mesmo Teorema,