Questão 47. Seja A=A_{1} \times A_{2} um produto de anéis. Mostre que
I_{1}=A_{1} \times\{0\} \text { e } I_{2}=\{0\} \times A_{2},
são ideais em A. Além disso, conclua que
\frac{A}{I_{1}} \simeq A_{2} \text { e } \frac{A}{I_{2}} \simeq A_{1}

Passo 1

O enunciado apresenta o anel produto
A = A_{1}\times A_{2}
e define os subconjuntos
I_{1} = A_{1}\times\{0\},\quad I_{2} = \{0\}\times A_{2}.
Pede-se (a) mostrar que I_{1} e I_{2} são ideais de A e (b) provar que
A/I_{1}\simeq A_{2} \quad\text{e}\quad A/I_{2}\simeq A_{1}.
Para isso vamos usar a definição de ideal em anel e o Teorema do Homomorfismo de Anéis.

Passo 2

Mostramos que I_{1} é ideal em A.
  1. I_{1} é subgrupo aditivo de A: se (a_{1},0) e (b_{1},0) estão em I_{1}, então
(a_{1},0)+(b_{1},0)=(a_{1}+b_{1},0)\in I_{1},
e o inverso aditivo de (a_{1},0) é ( -a_{1},0)\in I_{1}.
2. Fechamento sob multiplicação por qualquer (x_{1},x_{2})\in A:
(x_{1},x_{2})\cdot(a_{1},0)=(x_{1}a_{1},\,x_{2}\cdot0)=(x_{1}a_{1},0)\in I_{1},
e de modo análogo (a_{1},0)\cdot(x_{1},x_{2})\in I_{1}.
Portanto I_{1} é ideal bilateral em A.
De forma análoga, trocando papéis de A_{1} e A_{2}, conclui-se que
I_{2}=\{0\}\times A_{2}
também satisfaz as condições de ideal.

Passo 3

Definimos a projeção sobre o segundo fator
\pi_{2}\colon A_{1}\times A_{2}\longrightarrow A_{2},\qquad \pi_{2}(a_{1},a_{2})=a_{2}.
É fácil ver que \pi_{2} é homomorfismo de anéis e
\ker(\pi_{2})=\{(a_{1},a_{2})\mid a_{2}=0\}=A_{1}\times\{0\}=I_{1}.
Pelo Teorema do Homomorfismo de Anéis,
\frac{A}{I_{1}}\;\simeq\;\operatorname{Im}(\pi_{2})=A_{2}.

Passo 4

De modo análogo, consideramos a projeção sobre o primeiro fator
\pi_{1}\colon A_{1}\times A_{2}\longrightarrow A_{1},\qquad \pi_{1}(a_{1},a_{2})=a_{1},
cujo núcleo é \ker(\pi_{1})=\{0\}\times A_{2}=I_{2}. Pelo mesmo Teorema,
\frac{A}{I_{2}}\;\simeq\;\operatorname{Im}(\pi_{1})=A_{1}.

Resposta

A/I_{1}\simeq A_{2} \quad\text{e}\quad A/I_{2}\simeq A_{1}.

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