Questão 42: Um monopolista pode produzir a um custo médio (e marginal) constante de \mathrm{CMe}=\mathrm{CMg} =R \ 5,00 . A empresa defronta-se com a curva de demandaQ=53-P$.
a) Calcule o preço e a quantidade capazes de maximizar os lucros desse monopolista. Calcule também seus lucros.
b) Suponha que uma segunda empresa entre no mercado, que \mathrm{Q}_{1} seja a quantidade produzida pela primeira empresa e \mathrm{Q}_{2} a da segunda. A demanda de mercado é dada por: \mathrm{Q}_{1}+\mathrm{Q}_{2}=53-\mathrm{P}. Supondo que a segunda empresa tenha custos iguais aos da primeira, escreva a expressão para obtenção dos lucros de cada uma delas como funções de \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2}.
Resposta:
a) Monopólio: Quantidade: 24; Preço: R$29,00; Lucro: R$ 576,00
b) Duopólio:
\begin{aligned} & \Pi_{1}\left(Q_{1}, Q_{2}\right)=48 Q_{1}-Q_{1}^{2}-Q_{1} Q_{2} \\ & \Pi_{2}\left(Q_{1}, Q_{2}\right)=48 Q_{2}-Q_{2}^{2}-Q_{1} Q_{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de um monopolista com custo médio e marginal constante de \mathrm{CMe}=\mathrm{CMg}=5 que enfrenta a curva de demanda Q=53-P.
Conteúdo: maximização de lucros em monopolio (igualar receita marginal a custo marginal) e formulação de lucros em duopólio de Cournot.

Passo 2

Para o monopolista, invertendo a demanda obtemos o preço em função de Q:
P = 53 - Q.
A receita total é
RT = P\cdot Q = (53 - Q)\,Q = 53Q - Q^2,
logo a receita marginal é
RM = \frac{d\,RT}{dQ} = 53 - 2Q.
Igualando RM ao custo marginal CMg=5 para maximizar o lucro:
53 - 2Q = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2Q = 48 \quad\Longrightarrow\quad Q = 24.

Passo 3

Substituindo Q=24 na curva inversa de demanda para achar o preço:
P = 53 - 24 = 29.
O lucro do monopolista é
\Pi = (P - CMg)\,Q = (29 - 5)\,24 = 24 \times 24 = 576.

Passo 4

No duopólio, a demanda de mercado satisfaz
Q_1 + Q_2 = 53 - P \quad\Longrightarrow\quad P = 53 - Q_1 - Q_2.
Cada empresa tem custo marginal de 5, então o lucro de cada uma é
\Pi_1 = (P - 5)\,Q_1 = \bigl(53 - Q_1 - Q_2 - 5\bigr)Q_1 = 48\,Q_1 - Q_1^2 - Q_1\,Q_2,
\Pi_2 = (P - 5)\,Q_2 = \bigl(53 - Q_1 - Q_2 - 5\bigr)Q_2 = 48\,Q_2 - Q_2^2 - Q_1\,Q_2.

Resposta

a) Quantidade Q=24, preço P=29, lucro \Pi=576.
b)
\Pi_1(Q_1,Q_2)=48\,Q_1 - Q_1^2 - Q_1\,Q_2, \qquad \Pi_2(Q_1,Q_2)=48\,Q_2 - Q_2^2 - Q_1\,Q_2.

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