Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com entrada impulso deslocado,
sujeita a
Conteúdo usado: resposta ao impulso de sistemas LTI e transformada de Laplace (ou, alternativamente, o conceito de função de Green). Iremos obter primeiro a solução homogênea e depois adicionar o efeito do impulso em
.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
sujeita a
,
. A equação característica é
Logo a solução geral é
Impondo as condições iniciais:
então
Portanto
Passo 3
A função de transferência do sistema
é
A resposta ao impulso unitário é a inversa de Laplace de
:
Passo 4
Pelo teorema do deslocamento, a transformada de
é
. Assim, em domínio
,
Invertendo cada termo:
-
-
ondeé a função degrau de Heaviside.
Resposta
A solução completa é
Em forma piecewise: