Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\delta(t-\pi) \\\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com entrada impulso deslocado,
y''+2y'+2y=\delta(t-\pi),
sujeita a
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
Conteúdo usado: resposta ao impulso de sistemas LTI e transformada de Laplace (ou, alternativamente, o conceito de função de Green). Iremos obter primeiro a solução homogênea e depois adicionar o efeito do impulso em t=\pi.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y''+2y'+2y=0,
sujeita a y(0)=1, y'(0)=0. A equação característica é
\lambda^2+2\lambda+2=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda=-1\pm i.
Logo a solução geral é
y_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).
Impondo as condições iniciais:
y_h(0)=C_1=1,\qquad y_h'(t)=-e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t)+e^{-t}(-C_1\sin t + C_2\cos t),
então
y_h'(0)=-C_1 + C_2=0\\ \Longrightarrow\\ C_2=1.
Portanto
y_h(t)=e^{-t}(\cos t + \sin t).

Passo 3

A função de transferência do sistema y''+2y'+2y=f(t) é
G(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}.
A resposta ao impulso unitário é a inversa de Laplace de G(s):
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\Bigr\}(t) =e^{-t}\sin t\quad (t\ge0).

Passo 4

Pelo teorema do deslocamento, a transformada de \delta(t-\pi) é e^{-\pi s}. Assim, em domínio s,
Y(s) =\frac{s\,y(0)+y'(0)+2y(0)}{s^2+2s+2} +\frac{e^{-\pi s}}{s^2+2s+2} =\frac{s+2}{s^2+2s+2}+\frac{e^{-\pi s}}{s^2+2s+2}.
Invertendo cada termo:
  1. \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s+2}{s^2+2s+2}\bigr\}(t)=e^{-t}(\cos t+\sin t)=y_h(t).
  2. \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{e^{-\pi s}}{s^2+2s+2}\bigr\}(t) =g(t-\pi)\,H(t-\pi) =e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi)\,H(t-\pi),
    onde H é a função degrau de Heaviside.

Resposta

A solução completa é
y(t) =e^{-t}(\cos t+\sin t) +H(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).
Em forma piecewise:
y(t)= \begin{cases} e^{-t}(\cos t+\sin t),&0\le t<\pi,\\[6pt] e^{-t}(\cos t+\sin t)+e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi),&t\ge\pi. \end{cases}]

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