Questão 42: Um monopolista pode produzir a um custo médio (e marginal) constante de \mathrm{CMe}=\mathrm{CMg} =R \ 5,00 . A empresa defronta-se com a curva de demandaQ=53-P$.
a) Calcule o preço e a quantidade capazes de maximizar os lucros desse monopolista. Calcule também seus lucros.
b) Suponha que uma segunda empresa entre no mercado, que \mathrm{Q}_{1} seja a quantidade produzida pela primeira empresa e \mathrm{Q}_{2} a da segunda. A demanda de mercado é dada por: \mathrm{Q}_{1}+\mathrm{Q}_{2}=53-\mathrm{P}. Supondo que a segunda empresa tenha custos iguais aos da primeira, escreva a expressão para obtenção dos lucros de cada uma delas como funções de \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2}.
Resposta:
a) Monopólio: Quantidade: 24; Preço: R$29,00; Lucro: R$ 576,00
b) Duopólio:
\begin{aligned} & \Pi_{1}\left(Q_{1}, Q_{2}\right)=48 Q_{1}-Q_{1}^{2}-Q_{1} Q_{2} \\ & \Pi_{2}\left(Q_{1}, Q_{2}\right)=48 Q_{2}-Q_{2}^{2}-Q_{1} Q_{2} \end{aligned}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um monopolista com custo médio e marginal constantes iguais a 5. A curva de demanda de mercado é
Q = 53 - P,
ou seja, o preço inverso é
P(Q) = 53 - Q.
a) Queremos encontrar a quantidade Q e o preço P que maximizam o lucro do monopolista e, em seguida, calcular esse lucro.
b) Supondo a entrada de uma segunda empresa (duopólio de Cournot), com quantidades Q_{1} e Q_{2} e custos iguais, precisamos expressar os lucros \Pi_{1}(Q_{1},Q_{2}) e \Pi_{2}(Q_{1},Q_{2}).

Passo 2

Maximização do lucro no monopólio:
  1. A receita total é
\mathrm{RT}(Q)=P(Q)\,Q=(53 - Q)\,Q=53Q - Q^{2}.
  1. A receita marginal é a derivada de \mathrm{RT}(Q):
\mathrm{RM}(Q)=\frac{d}{dQ}(53Q - Q^{2})=53 - 2Q.
  1. A condição de maximização é \mathrm{RM}(Q)=\mathrm{CMg}=5. Logo,
53 - 2Q = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2Q = 48 \quad\Longrightarrow\quad Q = 24.
  1. O preço correspondente é
P = 53 - Q = 53 - 24 = 29.

Passo 3

Cálculo do lucro no monopólio:
\Pi = (P - \mathrm{CMe})\,Q = (29 - 5)\times 24 = 24 \times 24 = 576.

Passo 4

Expressão dos lucros no duopólio de Cournot:
  1. A regra de formação do preço é
P = 53 - (Q_{1} + Q_{2}).
  1. O lucro da empresa 1 é
\Pi_{1}(Q_{1},Q_{2}) = \bigl(P - 5\bigr)\,Q_{1} = \bigl[\,53 - (Q_{1}+Q_{2}) - 5\bigr]\,Q_{1} = (48 - Q_{1} - Q_{2})\,Q_{1} = 48\,Q_{1} - Q_{1}^{2} - Q_{1}Q_{2}.
  1. De modo análogo, o lucro da empresa 2 é
\Pi_{2}(Q_{1},Q_{2}) = 48\,Q_{2} - Q_{2}^{2} - Q_{1}Q_{2}.

Resposta

(a) Quantidade ótima: Q=24.
Preço ótimo: P=\text{R\$ }29,00.
Lucro: \Pi=\text{R\$ }576,00.
(b)
\Pi_{1}(Q_{1},Q_{2}) = 48\,Q_{1} - Q_{1}^{2} - Q_{1}Q_{2}, \qquad \Pi_{2}(Q_{1},Q_{2}) = 48\,Q_{2} - Q_{2}^{2} - Q_{1}Q_{2}.

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