Questão 42. Mostre que a função f: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada f(a+b i)=\left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right) é um homomorfismo de anéis injetor. Essa aplicação é um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define
f\colon \mathbb{C}\to M_{2}(\mathbb{R}),\quad f(a+bi)=\begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix},
e pede para mostrarmos que f é um homomorfismo de anéis injetor e discutir se é um isomorfismo. Para isso vamos precisar usar a definição de homomorfismo de anéis (preservar soma, produto e unidade) e checar injeção e sobrejeção.
Passo 2
Verificamos que f preserva a soma. Dados z_{1}=a+bi e z_{2}=c+di, temos
então a=0 e b=0. Logo o único elemento do núcleo é 0+0i, isto é, \ker f=\{0\}, o que implica injeção.
Passo 6
Concluímos que f é um homomorfismo de anéis injetor. Agora, para ser um isomorfismo é preciso também ser sobrejetor, ou seja, todo 2\times2 real teria de ser da forma \begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix}. Mas nem toda matriz real se encaixa nesse formato (por exemplo \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} não pode ser escrita assim com a,b\in\mathbb{R}). Portanto f não é sobrejetora e não é isomorfismo de \mathbb{C} sobre M_{2}(\mathbb{R}).
Resposta
f é um homomorfismo de anéis injetor, mas não é um isomorfismo porque não é sobrejetora.