Questão 42. Mostre que a função f: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada f(a+b i)=\left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right) é um homomorfismo de anéis injetor. Essa aplicação é um isomorfismo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
f\colon \mathbb{C}\to M_{2}(\mathbb{R}),\quad f(a+bi)=\begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix},
e pede para mostrarmos que f é um homomorfismo de anéis injetor e discutir se é um isomorfismo. Para isso vamos precisar usar a definição de homomorfismo de anéis (preservar soma, produto e unidade) e checar injeção e sobrejeção.

Passo 2

Verificamos que f preserva a soma. Dados z_{1}=a+bi e z_{2}=c+di, temos
z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d),
então
f(z_{1}+z_{2}) =\begin{pmatrix}a+c & -(b+d) \\\ b+d & a+c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}c & -d \\\ d & c\end{pmatrix} =f(z_{1})+f(z_{2}).

Passo 3

Verificamos que f preserva o produto. Usando
z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc),
temos
f(z_{1}z_{2}) =\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc) \\\ ad+bc & ac-bd\end{pmatrix}.
Por outro lado,
f(z_{1})\,f(z_{2}) =\begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & -d \\\ d & c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc) \\\ ad+bc & ac-bd\end{pmatrix},
logo f(z_{1}z_{2})=f(z_{1})\,f(z_{2}).

Passo 4

Checamos a unidade: em \mathbb{C} a unidade é 1+0i. Então
f(1+0i)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
que é a matriz identidade de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 5

Mostramos que f é injetora. Se
f(a+bi)=\begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
então a=0 e b=0. Logo o único elemento do núcleo é 0+0i, isto é, \ker f=\{0\}, o que implica injeção.

Passo 6

Concluímos que f é um homomorfismo de anéis injetor. Agora, para ser um isomorfismo é preciso também ser sobrejetor, ou seja, todo 2\times2 real teria de ser da forma \begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix}. Mas nem toda matriz real se encaixa nesse formato (por exemplo \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} não pode ser escrita assim com a,b\in\mathbb{R}). Portanto f não é sobrejetora e não é isomorfismo de \mathbb{C} sobre M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

f é um homomorfismo de anéis injetor, mas não é um isomorfismo porque não é sobrejetora.

Exercícios relacionados