Questão 44. Seja A um anel qualquer. Mostre que A pode ser imerso em um anel S com identidade. Em outras palavras mostre que existe um homomorfismo sobrejetor entre A e um anel com identidade S. Esse exercício nos mostre que qualquer anel (mesmo que sem identidade) está contido em um anel com identidade.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel qualquer A, possivelmente sem elemento identidade, e pede para mostrarmos que existe um anel unitário S e um homomorfismo injuntivo de A em S. O conteúdo aqui é a construção do anel “com identidade adjunta” a A.

Passo 2

Definimos
S = A \times \mathbb{Z}
com as operações ponto a ponto na primeira coordenada e totalmente misturadas na segunda, assim: para (a,n),(b,m)\in S,
(a,n)+(b,m) = (\,a + b,\;n + m\,),
(a,n)\cdot(b,m) = (\,a b \;+\; n\,b \;+\; m\,a,\;n\,m).
A ideia é incorporar um “ 1” novo, vindo de \mathbb{Z}, sem mudar a adição original de A.

Passo 3

Agora mostramos que S é um anel unitário.
  1. Associatividade e comutatividade da soma seguem de A e de \mathbb{Z}.
  2. A distributividade de \cdot sobre + se verifica usando apenas a distributividade em A e em \mathbb{Z}.
  3. A associatividade do produto em S pede um cálculo direto, mas usa unicamente a associatividade em A e em \mathbb{Z}.
  4. O elemento neutro do produto em S é
(0_A,1),
pois para todo (a,n)\in S:
(0_A,1)\cdot(a,n) = (\,0_A\cdot a + 1\cdot a + n\cdot 0_A,\;1\cdot n) = (\,a,\;n),
e o mesmo vale trocando a ordem. Logo S é um anel com identidade (0_A,1).

Passo 4

Definimos o mapa
\varphi\colon A \longrightarrow S, \quad \varphi(a) = (a,0).
Verificações:
  • Para a,b\in A,
\varphi(a+b) = (a+b,0) = (a,0)+(b,0) = \varphi(a)+\varphi(b).
  • Para a,b\in A,
\varphi(a b) = (a b,0) = (a,0)\cdot(b,0) = \varphi(a)\cdot\varphi(b).
  • Se \varphi(a)=(0_A,0), então (a,0)=(0_A,0) e portanto a=0_A. Logo \ker\varphi=\{0\} e \varphi é injuntiva.

Resposta

O anel S = A\times\mathbb{Z}, com identidade (0_A,1), contém uma cópia isomorfa de A por meio do homomorfismo injuntivo \varphi(a)=(a,0). Portanto todo anel A pode ser imerso num anel unitário S.

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