Considere a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}3 x-5 \text { se } x<2 \\\\ 4 \mathrm{x}+\mathbf{k}, \text { se } \mathrm{x} \geq 2\end{array}\right.
Determine o valor da constante \mathbf{K} para que exista o limite \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x-5, & x<2,\\\\ 4x+\mathbf{K}, & x\ge2, \end{cases}
e pede para \lim_{x\to2}f(x) existir. Para isso, precisamos que os limites laterais em x=2 sejam iguais.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to2^-}f(x)=3\cdot2-5=6-5=1.

Passo 3

Calcular o limite pela direita:
\lim_{x\to2^+}f(x)=4\cdot2+\mathbf{K}=8+\mathbf{K}.

Passo 4

Impor a igualdade dos limites laterais para que o limite exista:
1 = 8 + \mathbf{K}
Logo,
\mathbf{K}=-7.

Resposta

\mathbf{K}=-7

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