Questão 42: Rendimento da Máquina Térmica III
Uma máquina térmica realiza um ciclo trocando calor com um número total N de reservatórios térmicos com temperaturas T_{1}>T_{3}>T_{4} \cdots T_{N}>T_{2} e realiza trabalho.
Demonstre que o rendimento da máquina \eta é inferior ao da máquina de Carnot que opera entre T_{1} e T_{2}, ou seja,
\eta \leq \eta_{c}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para um ciclo que absorve calor de vários reservatórios com temperaturas T_{1}>T_{3}>T_{4}>\cdots>T_{N}>T_{2} e rejeita calor nestes mesmos reservatórios, o rendimento \eta da máquina satisfaz
\eta \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}.
O conteúdo principal é a Segunda Lei da Termodinâmica na forma da desigualdade de Clausius para processos cíclicos. Vamos usar a desigualdade
\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0
para relacionar as quantidades de calor trocadas com cada reservatório.

Passo 2

Aplique a desigualdade de Clausius ao ciclo inteiro. Se \delta Q_i é o calor trocado com o reservatório à temperatura T_i, temos
\sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i}{T_i} \le 0.
Aqui tomamos Q_1>0 (calor absorvido do reservatório mais quente, T_1) e para i\ge2 normalmente Q_i<0 (calor rejeitado).

Passo 3

Separe o termo i=1 dos demais:
\frac{Q_1}{T_1} \;+\;\sum_{i=2}^{N}\frac{Q_i}{T_i}\;\le\;0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=2}^{N}\frac{Q_i}{T_i}\;\le\;-\,\frac{Q_1}{T_1}.

Passo 4

Como para i\ge2 temos Q_i<0, definimos Q_{Ri}=-\,Q_i>0. Então
\sum_{i=2}^{N}\frac{Q_i}{T_i} = -\,\sum_{i=2}^{N}\frac{Q_{Ri}}{T_i} \;\le\;-\,\frac{Q_1}{T_1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=2}^{N}\frac{Q_{Ri}}{T_i} \;\ge\;\frac{Q_1}{T_1}.

Passo 5

Note que para todo i\ge2 vale T_i\ge T_2, logo
\frac{1}{T_i}\le\frac{1}{T_2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=2}^{N}\frac{Q_{Ri}}{T_i} \;\le\; \sum_{i=2}^{N}\frac{Q_{Ri}}{T_2} \;=\; \frac{1}{T_2}\sum_{i=2}^{N}Q_{Ri}.
Defina o calor total rejeitado
Q_r \;=\;\sum_{i=2}^{N}Q_{Ri}.
Combinando com o resultado do passo anterior, obtemos
\frac{Q_r}{T_2}\;\ge\;\frac{Q_1}{T_1} \quad\Longrightarrow\quad Q_r\;\ge\;Q_1\,\frac{T_2}{T_1}.

Passo 6

O trabalho cedido pela máquina é
W = Q_1 - Q_r,
então o rendimento é
\eta = \frac{W}{Q_1} =1 - \frac{Q_r}{Q_1} \;\le\; 1 - \frac{T_2}{T_1}.

Resposta

\displaystyle \eta \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}.

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