Questão 42: Rendimento da Máquina Térmica III
Uma máquina térmica realiza um ciclo trocando calor com um número total
de reservatórios térmicos com temperaturas
e realiza trabalho.
Demonstre que o rendimento da máquina
é inferior ao da máquina de Carnot que opera entre
e
, ou seja,
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para um ciclo que absorve calor de vários reservatórios com temperaturas
e rejeita calor nestes mesmos reservatórios, o rendimento
da máquina satisfaz
O conteúdo principal é a Segunda Lei da Termodinâmica na forma da desigualdade de Clausius para processos cíclicos. Vamos usar a desigualdade
para relacionar as quantidades de calor trocadas com cada reservatório.
Passo 2
Aplique a desigualdade de Clausius ao ciclo inteiro. Se
é o calor trocado com o reservatório à temperatura
, temos
Aqui tomamos
(calor absorvido do reservatório mais quente,
) e para
normalmente
(calor rejeitado).
Passo 3
Separe o termo
dos demais:
Passo 4
Como para
temos
, definimos
. Então
Passo 5
Note que para todo
vale
, logo
Defina o calor total rejeitado
Combinando com o resultado do passo anterior, obtemos
Passo 6
O trabalho cedido pela máquina é
então o rendimento é