PROBLEMA 2

Experimentos mais sofisticados podem envolver medições mais complexas, portanto, para calcular a incerteza numa expressão envolvendo multiplicações, divisões, potenciação e/ou radiciação como em Y=K a^{p} b^{q} c^{r}, (a) mostre que a incerteza em Y é dada por;
\frac{\Delta Y}{Y}=|p| \frac{\Delta a}{a}+|q| \frac{\Delta b}{b}+|r| \frac{\Delta c}{c} .
(b) Na determinação do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas: r=(2,02 \pm 0,03) \mathrm{cm}, h=(8,432 \pm 0,005) \mathrm{cm}. Calcule o volume do cilindro e sua incerteza.

Passo 1

O enunciado trata de propagação de incertezas em grandezas combinadas por multiplicação, divisão e potência, no caso geral
Y = K\,a^{p}b^{q}c^{r}
e pede para mostrar que
\frac{\Delta Y}{Y} = |p|\frac{\Delta a}{a} + |q|\frac{\Delta b}{b} + |r|\frac{\Delta c}{c},
além de aplicar essa fórmula para calcular o volume de um cilindro V=\pi r^{2}h com as medidas \,r=(2{,}02\pm0{,}03)\,\mathrm{cm} e \,h=(8{,}432\pm0{,}005)\,\mathrm{cm}.

Passo 2

Para a demonstração usamos o truque de tomar logaritmo natural de Y:
\ln Y = \ln K + p\ln a + q\ln b + r\ln c.
Diferenciando em relação às variáveis (tratando K como constante) obtemos
\frac{dY}{Y} = p\,\frac{da}{a} + q\,\frac{db}{b} + r\,\frac{dc}{c}.
Interpreta-se dY,\,da,\,db,\,dc como pequenas variações ou incertezas \Delta Y,\Delta a,\Delta b,\Delta c. Tomando valores absolutos para somar incertezas, vem
\frac{\Delta Y}{Y} = |p|\frac{\Delta a}{a} + |q|\frac{\Delta b}{b} + |r|\frac{\Delta c}{c}.

Passo 3

Agora aplicamos o resultado ao volume do cilindro
V = \pi r^{2}h,
que é do tipo K\,a^{p}b^{q} com K=\pi, a=r, p=2, b=h, q=1. Logo
\frac{\Delta V}{V} = 2\,\frac{\Delta r}{r} + 1\,\frac{\Delta h}{h}.

Passo 4

Calculamos primeiro o valor nominal de V:
r^{2} = (2{,}02)^{2} = 4{,}0804,\quad V = \pi \times 4{,}0804 \times 8{,}432 \approx 108{,}1\;\mathrm{cm^{3}}.

Passo 5

Agora a incerteza relativa:
2\,\frac{\Delta r}{r} = 2\cdot\frac{0{,}03}{2{,}02}\approx0{,}02970, \quad \frac{\Delta h}{h} = \frac{0{,}005}{8{,}432}\approx0{,}00059,
\frac{\Delta V}{V}\approx0{,}02970+0{,}00059=0{,}03029, \quad \Delta V = V\cdot0{,}03029\approx108{,}1\times0{,}03029\approx3{,}28\;\mathrm{cm^{3}}.

Passo 6

Devemos reportar a incerteza com uma casa significativa. Assim \Delta V\approx3\;\mathrm{cm^{3}} e arredondamos V à mesma ordem: V\approx108\;\mathrm{cm^{3}}.

Resposta

O volume do cilindro é
V = (108 \pm 3)\;\mathrm{cm^{3}}.

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