QUESTÃO 42

Um satélite é lançado em uma direção paralela à superficie da Terra com uma velocidade de 30000 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e de uma altitude de 400 km . Logo, qual a velocidade escalar do satélite (em \mathrm{km} / \mathrm{h} ) ao atingir a altitude máxima de 4000 km ?
Dado: raio da Terra =6370 \mathrm{~km}.
(A) 19585
(B) 18960
(C) 18000
(D) 17885
(E) 17115

Passo 1

O enunciado dá um satélite lançado horizontalmente com velocidade inicial \,v_0 = 30000\\ \mathrm{km/h} a uma altitude de 400\\ \mathrm{km}. Pede-se a velocidade escalar \,v_1 quando atingir a altitude máxima de 4000\\ \mathrm{km}.
Conteúdo: conservação da energia mecânica na gravitação (energia cinética + potencial gravitacional).

Passo 2

Definimos as distâncias ao centro da Terra:
r_0 = R_{\rm T} + 400 = 6370 + 400 = 6770\\ \mathrm{km},
r_1 = R_{\rm T} + 4000 = 6370 + 4000 = 10370\\ \mathrm{km}.
A energia mecânica por unidade de massa é
E = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r},
onde \mu = G\,M_{\rm Terra}.

Passo 3

Calculamos \mu em unidades de \mathrm{km^3/h^2}. Sabe-se \mu = 398600\\ \mathrm{km^3/s^2} e 1\\ \mathrm{s}=1/3600\\ \mathrm{h}, portanto
\mu = 398600 \times (3600)^2 \approx 5{,}164\times10^{12}\\ \mathrm{km^3/h^2}.

Passo 4

Energia inicial por unidade de massa:
E = \frac{v_0^2}{2} - \frac{\mu}{r_0} = \frac{(30000)^2}{2} \;-\;\frac{5{,}164\times10^{12}}{6770} \approx 4{,}50\times10^8 \;-\;7{,}63\times10^8 = -3{,}13\times10^8\\ \mathrm{km^2/h^2}.

Passo 5

No ponto de altitude máxima a componente radial da velocidade é zero, então toda velocidade é tangencial e a energia é
E = \frac{v_1^2}{2} - \frac{\mu}{r_1} \;\Longrightarrow\; \frac{v_1^2}{2} = E + \frac{\mu}{r_1}.
Calculamos
\frac{\mu}{r_1} = \frac{5{,}164\times10^{12}}{10370} \approx 4{,}98\times10^8
e então
\frac{v_1^2}{2} \approx -3{,}13\times10^8 + 4{,}98\times10^8 = 1{,}85\times10^8 \;\Longrightarrow\; v_1^2 \approx 3{,}70\times10^8 \;\Longrightarrow\; v_1 \approx 1{,}92\times10^4\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

O valor numérico encontrado é v_1\approx19200\\ \mathrm{km/h}. Entre as opções dadas, a mais próxima é 18960, alternativa (B).

Resposta

(B) 18960

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