Questão 42. Suponha que as funções f, f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots, f^{(n-1)} são contínuas e suaves por partes para t \geq 0 e que cada uma das funções satisfaz a condição de crescimento exponencial. Mostre por indução matemática que
\mathcal{L}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n} F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(o)-\ldots-f^{(n-1)}(0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes hipóteses e pede uma prova por indução:
  • Hipóteses (pegue-as do enunciado): as funções f, f', f'',\dots,f^{(n-1)} são contínuas e suaves por partes para t\ge 0 e cada uma satisfaz a condição de crescimento exponencial (ou seja, existe M>0 e a\in\mathbb{R} tais que |f^{(k)}(t)|\le M e^{a t} para t suficientemente grande, para cada k\le n-1).
  • Definição/nota: denote por F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} a transformada de Laplace de f:
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
para valores de s para os quais a integral converge (tipicamente s>a onde a é a constante da ordem exponencial).
  • O que pedir: mostrar, por indução sobre n, que
\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0).

Passo 2

Lembrete (por que as hipóteses importam). Vou explicar por que precisamos das hipóteses e o que elas garantem:
  • A definição da transformada de Laplace é \mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}g(t)\,dt. Para que essa integral exista é suficiente que g seja de ordem exponencial: existam M,a com |g(t)|\le M e^{a t} para t grande. Então a integral converge para todo s>a.
  • As hipóteses de continuidade e suavidade por partes dos derivados permitem fazer integração por partes e trocar limites (avaliar termos de contorno) com segurança.
  • Em particular, a condição de ordem exponencial garante que \lim_{t\to\infty} e^{-s t} g(t)=0 para todo s>a. Isso será usado para anular o termo de contorno no infinito quando fizermos integração por partes.

Passo 3

Base da indução: caso n=1. Vamos calcular \mathcal{L}\{f'(t)\} explicitamente e verificar que a fórmula vale para n=1.
Começamos pela definição:
\mathcal{L}\{f'(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt.
Fazemos integração por partes. Escolha conveniente:
  • tome u=e^{-s t} e dv=f'(t)\,dt;
  • então du=-s e^{-s t}\,dt e v=f(t).
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt=\left[e^{-s t} f(t)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}(-s e^{-s t}) f(t)\,dt.
Isto é
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt=\lim_{T\to\infty} e^{-s T} f(T)-e^{-s\cdot 0} f(0)+s\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Agora avaliamos os termos de contorno usando a condição de ordem exponencial. Como f é de ordem exponencial, existem M,a tais que |f(t)|\le M e^{a t}. Para qualquer s>a temos
\left|e^{-s T} f(T)\right|\le M e^{-(s-a)T}\xrightarrow[T\to\infty]{}0.
Logo \lim_{T\to\infty} e^{-s T} f(T)=0. Também e^{-s\cdot 0}f(0)=f(0). Portanto a expressão fica
\mathcal{L}\{f'(t)\}=0 - f(0) + s\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Reconhecendo a transformada \int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt=F(s), obtemos
\mathcal{L}\{f'(t)\}=s F(s)-f(0).
Isso mostra que a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 4

Intuição sobre o passo seguinte (ferramenta que vamos usar na indução). A relação provada no passo anterior é a ferramenta essencial:
\mathcal{L}\{g'(t)\}=s\,\mathcal{L}\{g(t)\}-g(0),
válida sempre que g satisfaz as condições necessárias (continuidade/suavidade por partes e ordem exponencial). Na indução vamos aplicar essa fórmula com g=f^{(k)}.

Passo 5

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge 1 a fórmula seja verdadeira, isto é, suponha que
\mathcal{L}\{f^{(k)}(t)\}=s^{k}F(s)-s^{k-1}f(0)-s^{k-2}f'(0)-\dots - f^{(k-1)}(0).
Queremos mostrar que então a fórmula vale para n=k+1:
\mathcal{L}\{f^{(k+1)}(t)\}=s^{k+1}F(s)-s^{k}f(0)-s^{k-1}f'(0)-\dots - f^{(k)}(0).

Passo 6

Aplicação da relação básica ao caso g=f^{(k)}. Considere g(t)=f^{(k)}(t). As hipóteses do enunciado garantem que g satisfaz as mesmas condições (continuidade por partes e ordem exponencial), logo podemos aplicar
\mathcal{L}\{g'(t)\}=s\,\mathcal{L}\{g(t)\}-g(0).
Mas g'(t)=f^{(k+1)}(t) e \mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\{f^{(k)}(t)\}. Assim
\mathcal{L}\{f^{(k+1)}(t)\}=s\,\mathcal{L}\{f^{(k)}(t)\}-f^{(k)}(0).

Passo 7

Usar a hipótese de indução na expressão obtida e simplificar. Pela hipótese de indução temos
\mathcal{L}\{f^{(k)}(t)\}=s^{k}F(s)-s^{k-1}f(0)-s^{k-2}f'(0)-\dots - f^{(k-1)}(0).
Multiplicando por s e subtraindo f^{(k)}(0) obtemos
\begin{aligned} \mathcal{L}\{f^{(k+1)}(t)\} &=s\bigl(s^{k}F(s)-s^{k-1}f(0)-s^{k-2}f'(0)-\dots - f^{(k-1)}(0)\bigr)-f^{(k)}(0)\\[4pt] &=s^{k+1}F(s)-s^{k}f(0)-s^{k-1}f'(0)-\dots - s\,f^{(k-1)}(0)-f^{(k)}(0). \end{aligned}
Observando a sequência de termos, isso é exatamente
\mathcal{L}\{f^{(k+1)}(t)\}=s^{k+1}F(s)-s^{k}f(0)-s^{k-1}f'(0)-\dots - f^{(k)}(0),
o que é a fórmula desejada para n=k+1.]

Passo 8

Conclusão da indução. Mostramos que a fórmula vale para n=1 (base) e que, se vale para n=k então vale para n=k+1. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}. Observação final: todas as igualdades são válidas para valores de s tais que as transformadas existam (tipicamente s>a, onde a é a constante da ordem exponencial fornecida nas hipóteses).
Força aí — com esse procedimento na ponta dos dedos dá para aplicar a propriedade de derivadas da transformada de Laplace em qualquer exercício da prova.

Resposta

\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0)

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