1. \int_{0}^{12} \int_{\sqrt{3} y}^{\sqrt{1-y^{2}}} x y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla
\int_{0}^{12} \int_{\sqrt{3}\,y}^{\sqrt{1-y^{2}}} x\,y^{2}\,dx\,dy.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A variável externa (de integração) é y com intervalo [0,12].
  • A variável interna é x com limites x=\sqrt{3}\,y (limite inferior) e x=\sqrt{1-y^{2}} (limite superior).
  • O integrando é x\,y^{2}.
Observação sobre os limites: a expressão \sqrt{1-y^{2}} está bem definida em números reais somente quando |y|\le 1. Como o enunciado coloca y indo até 12, há uma incompatibilidade nos limites tal como escritos (para y>1 a raiz deixa de ser real). Nesta etapa apenas listei essa informação — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Decisão para poder continuar (não posso perguntar ao autor do enunciado): vou assumir que houve um erro de digitação no limite superior do y e que o correto seria o intervalo [0,1] para y (essa é a correção natural porque \sqrt{1-y^{2}} exige |y|\le 1). Com essa suposição, a integral considerada será
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{3}\,y}^{\sqrt{1-y^{2}}} x\,y^{2}\,dx\,dy.
Seguirei calculando essa integral (se a intenção do enunciado fosse outra, a integral original com 0\le y\le 12 não está bem definida em reais).

Passo 3

Escolha do método: como a integral já vem escrita com dx por dentro, é natural calcular primeiro a integral interna em x e depois integrar em y. Regra usada: a integral indefinida de x em relação a x é
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
No nosso caso o integrando interno é x\,y^{2}. Aqui y^{2} é tratado como constante quando integramos em x. Logo
\int x\,y^{2}\,dx = y^{2}\int x\,dx = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{y^{2}x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicar os limites da integração interna (de x=\sqrt{3}\,y até x=\sqrt{1-y^{2}}). Substituindo na primitiva:
\left.\frac{y^{2}x^{2}}{2}\right|_{x=\sqrt{3}\,y}^{x=\sqrt{1-y^{2}}} = \frac{y^{2}}{2}\Bigl((\sqrt{1-y^{2}})^{2}-(\sqrt{3}\,y)^{2}\Bigr).
Simplificando as potências das raízes:
(\sqrt{1-y^{2}})^{2}=1-y^{2},\qquad (\sqrt{3}\,y)^{2}=3y^{2}.
Portanto a expressão interna vira
\frac{y^{2}}{2}\bigl((1-y^{2})-3y^{2}\bigr) = \frac{y^{2}}{2}\bigl(1-4y^{2}\bigr).
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{2}\bigl(1-4y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral em y. Primeiro escrevo ela de forma separada:
\int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{2}\bigl(1-4y^{2}\bigr)\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(y^{2}-4y^{4}\bigr)\,dy.
Agora uso antiderivadas básicas:
\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3},\qquad \int y^{4}\,dy=\frac{y^{5}}{5}.
Aplicando entre 0 e 1:
\frac{1}{2}\left(\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}-4\left.\frac{y^{5}}{5}\right|_{0}^{1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{4}{5}\right).
Colocando em denominador comum:
\frac{1}{2}\left(\frac{5}{15}-\frac{12}{15}\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{7}{15}\right) = -\frac{7}{30}.

Passo 6

Interpretação e comentário didático: o valor é negativo porque, para y>\tfrac{1}{2}, acontece que \sqrt{3}\,y>\sqrt{1-y^{2}}, ou seja, o limite inferior da integração em x passa a ser maior que o limite superior; isso faz com que a integral interna em x seja negativa nessas fatias de y. A igualdade entre os limites ocorre quando
\sqrt{3}\,y=\sqrt{1-y^{2}}\quad\Rightarrow\quad 3y^{2}=1-y^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{2}
(no intervalo considerado com y\ge 0). Então para 0\le y\le \tfrac{1}{2} a integral interna é positiva e para \tfrac{1}{2}<y\le 1 ela é negativa; o resultado total é a soma dessas contribuições, dando -\tfrac{7}{30}.

Resposta

-\tfrac{7}{30}

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