\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é e^{-x^{2}-y^{2}}.
  • As variáveis variam em 0\le x\le1 e, para cada x, 0\le y\le\sqrt{4-x^{2}}.
  • A região de integração é a parte do primeiro quadrante limitada pela reta x=0, pela reta x=1, pelo eixo y=0 e pela circunferência x^{2}+y^{2}=4.
    O objetivo é calcular o valor numérico (ou uma forma explícita) dessa integral.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Explicação didática rápida:
  • Quando o integrando depende de x^{2}+y^{2} (aqui aparece como e^{-x^{2}-y^{2}}), coordenadas polares são quase sempre uma escolha inteligente, porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Em coordenadas polares define-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. O elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta (esse fator r é o jacobiano da mudança de variável).
    Portanto, faremos a transformação
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
e e^{-x^{2}-y^{2}} = e^{-r^{2}}.
Agora precisamos descrever a região em termos de r e \theta. A região está no primeiro quadrante, então 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}. As fronteiras relevantes:
  • a circunferência x^{2}+y^{2}=4 vira r=2;
  • a reta vertical x=1 vira r\cos\theta=1, ou seja r=\dfrac{1}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta.
    Para cada \theta no primeiro quadrante, o raio r vai de 0 até o menor dos valores 2 e \operatorname{sec}\theta. Há um ângulo crítico onde \operatorname{sec}\theta=2, isto é \cos\theta=\tfrac{1}{2}, logo \theta=\tfrac{\pi}{3}.
  • Se 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{3} então \operatorname{sec}\theta\le 2, logo r vai de 0 a \operatorname{sec}\theta.
  • Se \tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} então \operatorname{sec}\theta\ge 2, logo r vai de 0 a 2.
Portanto a região deve ser dividida em duas faixas angulares: [0,\tfrac{\pi}{3}] e [\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 3

Escrevendo a integral em polares e separando as duas faixas angulares:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dy\,dx = \int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{\operatorname{sec}\theta} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta + \int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Agora calculamos a integral interna em r. Lembrete: a primitiva de r e^{-r^{2}} é simples porque \dfrac{d}{dr}(e^{-r^{2}}) = -2r e^{-r^{2}}. Assim:
\int r e^{-r^{2}}\,dr = -\tfrac{1}{2} e^{-r^{2}} + C.
Aplicando nos limites 0 a a obtemos
\int_{0}^{a} r e^{-r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr).
Usando isso em cada parcela:
  • Para a primeira parcela a=\operatorname{sec}\theta:
\int_{0}^{\operatorname{sec}\theta} r e^{-r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\bigr).
  • Para a segunda parcela a=2:
\int_{0}^{2} r e^{-r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).
Substituindo de volta:
I \equiv \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dy\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\bigl(1 - e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\bigr)\,d\theta + \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\int_{\pi/3}^{\pi/2} d\theta.
A integral angular da segunda parcela é fácil:
\int_{\pi/3}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6},
logo a segunda parcela vale
\tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).
A primeira parcela é
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\bigl(1 - e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3} \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta.
Somando as parcelas e simplificando dá uma forma alternativa útil:
I = \frac{\pi}{12}\bigl(3 - e^{-4}\bigr) \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta.
Essa é uma forma exata, mas a integral \displaystyle\int_{0}^{\pi/3} e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta não tem primitiva elementar conhecida em termos de funções elementares usuais; portanto, para obter um valor numérico é natural fazer uma aproximação numérica dessa integral.

Passo 4

Vamos avaliar numericamente I. Primeiro calculos simples:
e^{-4}\approx 0{,}0183156389,\qquad \frac{\pi}{12}\approx 0{,}2617993878,
então
\frac{\pi}{12}\bigl(3 - e^{-4}\bigr) \approx 0{,}2617993878\cdot 2{,}9816843611 \approx 0{,}78060317.
Agora precisamos de
J\equiv \int_{0}^{\pi/3} e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta.
Fazemos a mudança t=\tan\theta. Então dt=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, logo d\theta = \dfrac{dt}{1+t^{2}} e \operatorname{sec}^{2}\theta=1+t^{2}. Quando \theta vai de 0 a \pi/3, t vai de 0 a \sqrt{3}. Assim
J=\int_{0}^{\pi/3} e^{-\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta = e^{-1}\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{e^{-t^{2}}}{1+t^{2}}\,dt.
A integral \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{e^{-t^{2}}}{1+t^{2}}\,dt calculamos numericamente por regra de Simpson (ou outro método de quadratura). Usando uma subdivisão razoável e avaliando os pontos obtemos
\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{e^{-t^{2}}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0{,}66949,
portanto
J \approx e^{-1}\cdot 0{,}66949 \approx 0{,}3678794412\cdot 0{,}66949 \approx 0{,}24629.
Finalmente:
I \approx 0{,}78060317 - \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}24629 = 0{,}78060317 - 0{,}123145 \approx 0{,}65745817.
Arredondando em uma precisão razoável para uso em prova ou conferência, obtemos I\approx 0{,}65746.

Resposta

\displaystyle 0{,}65746

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