Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - As variáveis variam em
e, para cada , . - A região de integração é a parte do primeiro quadrante limitada pela reta
, pela reta , pelo eixo e pela circunferência .
O objetivo é calcular o valor numérico (ou uma forma explícita) dessa integral.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Explicação didática rápida:
- Quando o integrando depende de
(aqui aparece como ), coordenadas polares são quase sempre uma escolha inteligente, porque . - Em coordenadas polares define-se
e . O elemento de área vira (esse fator é o jacobiano da mudança de variável).
Portanto, faremos a transformação
e
.
Agora precisamos descrever a região em termos de
e
. A região está no primeiro quadrante, então
. As fronteiras relevantes:
- a circunferência
vira ; - a reta vertical
vira , ou seja .
Para cadano primeiro quadrante, o raio vai de até o menor dos valores e . Há um ângulo crítico onde , isto é , logo . - Se
então , logo vai de a . - Se
então , logo vai de a .
Portanto a região deve ser dividida em duas faixas angulares:
e
.
Passo 3
Escrevendo a integral em polares e separando as duas faixas angulares:
Agora calculamos a integral interna em
. Lembrete: a primitiva de
é simples porque
. Assim:
Aplicando nos limites
a
obtemos
Usando isso em cada parcela:
- Para a primeira parcela
:
- Para a segunda parcela
:
Substituindo de volta:
A integral angular da segunda parcela é fácil:
logo a segunda parcela vale
A primeira parcela é
Somando as parcelas e simplificando dá uma forma alternativa útil:
Essa é uma forma exata, mas a integral
não tem primitiva elementar conhecida em termos de funções elementares usuais; portanto, para obter um valor numérico é natural fazer uma aproximação numérica dessa integral.
Passo 4
Vamos avaliar numericamente
. Primeiro calculos simples:
então
Agora precisamos de
Fazemos a mudança
. Então
, logo
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
A integral
calculamos numericamente por regra de Simpson (ou outro método de quadratura). Usando uma subdivisão razoável e avaliando os pontos obtemos
portanto
Finalmente:
Arredondando em uma precisão razoável para uso em prova ou conferência, obtemos
.