Questão 45
Uma empresa possui 12 projetos diferentes e deseja formar dois comitês, um com 7 projetos e outro com 5 projetos. Determine de quantas maneiras diferentes é possível formar esses dois comitês.
(A) 1320
(B) 1188
(C) 924
(D) 792
(A) 1320
(B) 1188
(C) 924
(D) 792
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
- Há
projetos distintos. - Quer-se formar dois comitês: um com
projetos e outro com projetos.
Pedido: determinar de quantas maneiras diferentes é possível formar esses dois comitês.
Passo 2
Observação importante (para não contar errado): ao escolher quais
projetos vão para o comitê de
, os
restantes ficam automaticamente no comitê de
. Como os tamanhos dos comitês são diferentes (
e
), não há ambiguidade de “trocar” os comitês — escolher o conjunto de
é diferente de escolher o conjunto de
. Portanto basta contar de quantas maneiras podemos escolher o grupo de
dentre os
.
Passo 3
Fórmula que vamos usar: o número de maneiras de escolher
elementos distintos dentre
é dado pelo coeficiente binomial
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de
até
:
Aqui
e
, então o número de escolhas do comitê de
é
. Nota: também vale
, que às vezes simplifica o cálculo.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Para facilitar a conta manual, escrevemos a fração reduzida usando apenas os
fatores maiores do numerador:
Passo 5
Agora simplificamos passo a passo (mostrando um jeito prático para prova, sem calcular grandes fatoriais):
Primeiro, note que o denominador é
. Podemos cancelar fatores com o numerador:
Factorizando mentalmente:
, então
cancela bem com alguns termos. Uma forma direta é dividir o produto do numerador por
:
e
Se preferir ver cancelamentos parciais: divida
por
dando
; divida
por
dando
; divida
por
dando
; o denominador restante
cancela com o
(pois
). Multiplicando os resultados
.
Passo 6
Concluímos que o número de maneiras de formar os dois comitês (um com
e outro com
) é
. Não multiplicamos nem dividimos por mais nada porque a escolha do comitê de
determina unicamente o comitê de
e os comitês são distinguíveis pelo tamanho.
Resposta
(D)