Questão 45

Uma empresa possui 12 projetos diferentes e deseja formar dois comitês, um com 7 projetos e outro com 5 projetos. Determine de quantas maneiras diferentes é possível formar esses dois comitês.
(A) 1320
(B) 1188
(C) 924
(D) 792

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
  • 12 projetos distintos.
  • Quer-se formar dois comitês: um com 7 projetos e outro com 5 projetos.
    Pedido: determinar de quantas maneiras diferentes é possível formar esses dois comitês.

Passo 2

Observação importante (para não contar errado): ao escolher quais 7 projetos vão para o comitê de 7, os 5 restantes ficam automaticamente no comitê de 5. Como os tamanhos dos comitês são diferentes ( 7 e 5), não há ambiguidade de “trocar” os comitês — escolher o conjunto de 7 é diferente de escolher o conjunto de 5. Portanto basta contar de quantas maneiras podemos escolher o grupo de 7 dentre os 12.

Passo 3

Fórmula que vamos usar: o número de maneiras de escolher k elementos distintos dentre n é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de 1 até n:
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
Aqui n=12 e k=7, então o número de escolhas do comitê de 7 é \binom{12}{7}. Nota: também vale \binom{12}{7}=\binom{12}{5}, que às vezes simplifica o cálculo.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\binom{12}{7}=\frac{12!}{7!\,5!}.
Para facilitar a conta manual, escrevemos a fração reduzida usando apenas os 5 fatores maiores do numerador:
\binom{12}{7}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.

Passo 5

Agora simplificamos passo a passo (mostrando um jeito prático para prova, sem calcular grandes fatoriais):
Primeiro, note que o denominador é 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120. Podemos cancelar fatores com o numerador:
\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{120}.
Factorizando mentalmente: 10=5\cdot2, então 120=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 cancela bem com alguns termos. Uma forma direta é dividir o produto do numerador por 120:
12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8 = 95040,
e
\frac{95040}{120}=792.
Se preferir ver cancelamentos parciais: divida 10 por 5 dando 2; divida 12 por 4 dando 3; divida 9 por 3 dando 3; o denominador restante 2\cdot1 cancela com o 8 (pois 8/(2\cdot1)=4). Multiplicando os resultados 3\cdot 11\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 792.

Passo 6

Concluímos que o número de maneiras de formar os dois comitês (um com 7 e outro com 5) é \binom{12}{7}=792. Não multiplicamos nem dividimos por mais nada porque a escolha do comitê de 7 determina unicamente o comitê de 5 e os comitês são distinguíveis pelo tamanho.

Resposta

(D) 792

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