Questão 45. Sejam A=\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), o anel das funções reais contínuas, a \in[0,1] e \sigma: A \rightarrow \mathbb{R} definida por \sigma(f)=f(a).
a) Mostre que \sigma é um homomorfismo de anéis sobrejetor.
b) Determine \operatorname{Ker}(\sigma) e \operatorname{Im}(\sigma).
c) Identifique o anel quociente \frac{A}{\operatorname{Ker}(\sigma)}.

Passo 1

O enunciado trabalha com o anel A = \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) das funções contínuas de [0,1] em \mathbb{R} e a aplicação
\sigma\colon A \to \mathbb{R},\qquad \sigma(f)=f(a)
para um ponto fixo a\in[0,1]. Precisamos mostrar que \sigma é um homomorfismo de anéis sobrejetor, e então determinar \ker(\sigma), \mathrm{Im}(\sigma) e identificar o quociente A/\ker(\sigma).

Passo 2

Mostramos que \sigma preserva soma, produto e unidade de A. Para f,g\in A e 1_A a função constante igual a 1, temos
\sigma(f+g) = (f+g)(a) = f(a)+g(a) = \sigma(f)+\sigma(g),
\sigma(fg) = (fg)(a) = f(a)\,g(a) = \sigma(f)\,\sigma(g),
\sigma(1_A) = 1_A(a) = 1.
Logo \sigma é homomorfismo de anéis unitários.

Passo 3

Para ver que \sigma é sobrejetor, tome um valor arbitrário r\in\mathbb{R}. A função constante
f(x)=r\quad\text{para todo }x\in[0,1]
é contínua e satisfaz \sigma(f)=f(a)=r. Assim \mathrm{Im}(\sigma)=\mathbb{R}.

Passo 4

O núcleo de \sigma são as funções que se anulam em a. Logo
\ker(\sigma)=\bigl\{\,f\in A : f(a)=0\bigr\}.

Passo 5

Já vimos que \mathrm{Im}(\sigma)=\mathbb{R}, pois todo r\in\mathbb{R} é valor de \sigma em alguma função constante.

Passo 6

Pelo Teorema do Homomorfismo de Anéis,
A/\ker(\sigma)\;\cong\;\mathrm{Im}(\sigma)=\mathbb{R}.
A isomorfia concreta envia a classe [f] em A/\ker(\sigma) para f(a).

Resposta

a) \sigma é homomorfismo de anéis unitários e é sobrejetor.
b) \displaystyle \ker(\sigma)=\{f\in A:f(a)=0\} e \mathrm{Im}(\sigma)=\mathbb{R}.
c) \displaystyle A/\ker(\sigma)\cong\mathbb{R}.

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